OE. OE'=OM. OM'=OA. OB

C'est ce qu'il fallait démontrer.

DE GfiOMÉTRIB ÉUMEKTAIRK 463

PROBLÈME LXXXII

Prouver qnMI existe, sur la ligne CC des centres de deux cercles qni ne ù coupent pas, deux points 0, 0' satisfaisant anx relations

C0.C0'~R»,C0.C'0'==R' 2 , dans lesquelles R, R' désignent les rayons.

Ces relations montrent que les deux points doivent Fio. 232, être réciproques par rapport à chacun des deux cercles (Th. XVI). Or, si Ton fait mouvoir un point sur le rayon CA, le point réciproque, par rapport au cercle G, parcourra le prolongement AC'X de ce rayon. On conçoit donc qu'il existe une certaine position du premier point, telle, que ces deux points, déjà réciproques par rapport au cercle G, seront encore réciproques par rapport au cercle G'.

Maintenant, pour obtenir les deux points, il suffit de chercher une circonférence I, qui coupe orthogonalement les deux circonférences données. En effet, D et D' étant les points d'intersection, nous aurons

CO.CO'=CD* C'O, C r O^QV\

Or, ID et ID' sont des tangentes égales, menées du centre I aux deux cercles donnés. Donc le point I appartient à Taxe radical de ces deux cercles (Th. XXVII). Nous pouvons donc regarder le problème comme résolu.

Remarque. La relation CO.CO'=R 2 équivaut à

CO(CO+2IO)=R2, ou R 2 -CO==2CO.IO, De même, R' 2 ^Cto'=2CUIO,Conséquemmeut,

R*— CÔ* CO

* C/Ct*

PROBLÈME LXXX1IL

Promrer qu'il existe, tor la ligne CC des eenlres de deux cercles intérieurs l'on à Faiilre, deux points 0, 0' tels, qne les distances de chacun d'enx aux extrémités d'une corde commune MM', perpendiculaire à la ligne des centres, sont dans nn rapport constant.

Fia. 254. Considérons, comme dans le problème précédent, les points de rencontre 0, 0' de la ligne des centres avec la circonférence I, qui coupe orthogonalement les deux cercles donnés. Joignons les extrémités M, M' de la corde commune MM', avec l'un de ces deux points, par exemple avec le point 0, par les droites OM, OM'. ftous pouvons démontrer que le rapport de ces droites est indépendant de la position de la corde.

En effet, le triangle OGM donne :

OM=ÔC+R*— 20C.CP=ÔC+R*— 20C.(0C-OP),

ou OM=R'— 0G+20C.0P,

R étant le rayon du cercle G. Par suite.

om* R«— ocVaoc.PO .

5ÂF 1 r'>— ôcr'-haoc'.op

Mais, ainsi qu'on Ta vu dans le problème précédent,

l oc

* — oc »

R«OC f oc