AC AC CD BC'^BC'CË

Les distances CD, CE sont proportionnelles & MQ, MP : il ne 8*agit donc plus que de trouver le rapport de ces dernières droites.

Or, les triangles rectangles QMF , CIA , ayant les côtés respectivement perpendiculaires 9 sont semblables; donc

QM^QF AC '^ Cl' De même»

On déduit y

ces

proportions

QM PM

AC BC'

puis

AC BC'

AC* BC

Ainsi : 1® les distances du point M, atéx côtés du triangle ^ sont proportionnelles à ces cotés; 2® la droite menée du point M, à un sommet 9 partage le côté opposé en deux segments proportionnels aux carrés des côtés adjacents.

Remarque. Nommons a, b, c les côtés du triangle, dont Taire sera représentée par T; et soient a, Styles distances MP, MQ, MR. On a

3T a= oa + 6|3 -4- cy;

puis, parce qui précède,

abc Ces relations donnent *

Le minimum cherché est donc

Pr«MèBie LU.

Exprimer, en fonction des cotés d'un triangle ABC, le périmètre du triangle A'B'C ayant pour sommets les pieds des hatUeurs de ABC.

On a vu (Liv. Il, Th. I) que, de tous les triangles inscrits à ABC, A'B'C est celui dont le périmètre 2p' est minimum. On calcule aisément 3p' si Ton observe que les triangles AB'C,

BC'A\ CA'B' semblables au triangle ABC, sont semblables entre eux (*).

On a donc, en appelant a, 6, c, a', b\ & les côtés des triangles ABC, ABC ' :

a' AC 7"" 6 '

D^ailleurs,

o« = 5«-hc» — Sc.AC,

AC'==

donc

Un simple changement de lettres donne ensuite :

2a6c 11 résulte , de ces trois valeurs ,

ikt

(*) Cette propriété résulte, soit de ce que C est le supplément de 2C(Liv. Il, Th. 1), soit de ce que fa circonférence décrite sur le côté BC, pris comme dia^ mètre, passe par les sofnmets B', C

Le numérateur représente 16T*, T étant Taire de ABC. Ainsi

Remarques. — I. R désignant le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC, l*on a [G., 286]

abc = 4RT.

La formule (3) peut donc être remplacée par celle-ci ;

Ainsi : l'aire d'un triangle ABC est égale au produit du rayon du cercle circonscrit, par' le demi-périmètre du triangle A'B'C ayant pour sommets les pieds des hauteurs de ABC.

H. Soit r' le rayon du cercle inscrit à A'B'C; soit T' iaire de ce triangle. On a [G., 288]

et, par conséquent,

Problème LUI.

Étant donnés un cercle 0 et une droite AB; trouver y sur le diamètre OE perpendiculaire à cette droite , un point P tel y que, menant parce point une corde qttelconqtte CC, et abaissant, des extrémités de cette corde, tes perpendiculaires CD, CD' sur la droite donnée, on ait

:;;^ "♦- t;:^^ = constante.

Remarquons d'abord que la condition donnée équivaut à

-;—;:= constante (i)

Conséquemmeni, nous allons évaluer la somme et le rectangle des perpendiculaires CD, CD'.

Soit R le point de rencontre de CC avec la droite donnée ;

nous avons :

d^où

^r. PE PE