OB BD = AB
Cl, dans te irângle rectangle OAG, y = Vx* — o*; donc
D'q>rèf ce qui préeède, on ■
x{x — R) = 2o», jqualion d'où l'on lire, en prenant seulement la radne posilire ,
Avant de substituer dans la valeur de /, on peut (d»erver que j* — a' = Ro + a»; et l'on obtient
OU, en nmplifiant,
i=--^ V »«* + 20tt*R* — R' t- R(««* -*• RV (■).
7'routwr un pùint M /? I , çue la lommt de $e$ distances à trait points donnés A , B , C , toit un minimum.
Du point C comme centre , décrivons une circonférence passant par le point inconnu M. La somme des dislances d'un point quelconque M' de cette lipe, aux points A, B, C, doit être plus grande que la somme des distances AM, BM, CM. Ainsi AH' + BH' -4- CM' > AH -t- BH -i- CH;
C) Pour la diicossion du problème , le Icclour peut o Annalci demalhématiquei, tome» I cl IX.
iuttcr l« Nottvtllet
OU 5 à cause de CM' =>CM :
ÂM' + BM' > ÂM -f- BM (I)
M est donc le point de la circonférence MM', pour lequel la somme des distances, aux points A, B, est un minimum.
Menons la tangente TMT'; soient a, b les points où elle est coupée par AM', BM'. Menons aussi A6. Le triangle A6M' donne
AM' -i-M'6> A6;
et y en ajoutant B6 de part et d'autre :
AM' -+- BM' > A6 -♦- B6 (2)
Si donc nous disposons du point M de manière à vérifier rinégalité
A6-+-B/>> AM H-BM, (3)
rinégalité (1) aura lieu, à plus forte raison.
Or, pour que la somme des distances AM, BM soit inférieure à A&-i-B6; 6 étant un point quelconque de MT, il faut (Liv. I, Probl. X) que les droites AM, BM soient également inclinées sur la normale MC. En d*autres termes : la droite CMC, qui joint le sommet C au point M, doit diviser en deux parties égales l'angle formé par les droites menées y de ce même point , aux autres sommets.
Ce que nous disons du sommet C s applique aux points A , B; c'est-à-dire que le point dont la somme des distances à trois points donnés est un minimum est tel y que chacune des trois droites qui le joignent aux points donnés est la bissectrice de l'angle formé par les deux autres.
On conclut aisément, de là, que chacun des trois angles formés autour du point M est égal à 120^; et que ce point est Tintersection de deux arcs, capables de ISO"*, décrits sur deux des côtés du triangle. Il est donc facile de le construire.
Remarque. Cette solution devient illusoire si un angle A du triangle ABC surpasse 120®. Dans ce cas, le point M coïncide avec A ; et le minimum égale AB -h AC (*).
ProMène I«.
M étant le point dont la somme des distances aux sommets d'un triangle donné ABC est un minimum, on demande d'exprimer cette somme en fonction des côtés.
Désignons par a, 6, c les longueurs des côtés; par x, y, z les distances M A, MB, MC ; et par 5 leur somme. Les triangles ABM , BCM, ACM donnent, comme il est aisé de le vérifier :
6* = z' -♦- X* -4- zx, c' =x'-*- y' -♦- xy.
Nous aurons ensuite, en exprimant que Faire T du triangle ABC est égale à la somme des aires des trois autres triangles,
T = - 1/5 (xy -♦- i/z -4- zx).
On déduit, de ces quatre équations, a» -H 6* H- c* H- 4T V^ 3 = 2(x» ^- y» -4- «« -+- ^xy -h 2xz -f- 2yz) ,
ou
,1 = 2T yi -«- i(a« -^ 6» -*- c*).
Problème Ll.
Trouver un point M tel, que la somme des carrés de ses distances, aux trois côtes d'un triangle ABC, soit un minimum.
(*) Bbrtrand. Journal de LiouviUe, t. VIII. p. 158.
DB GÉOMÉTRIE ÉLÉHENTAIRE. 931
Du point cherché M, abaissons (es perpendiculaires MP, MQ, MR, sur les côlés du triangle donné, et traçons PQ, QR, RP;puis, d'un autre point quelconque M', menons les perpendiculaires M'P', M'Q , M'ft', et les obliques HP, M'Q, MR.
Nous aurons
gp' + B^ ^. îiiR* < IFP* ■*- ffQ ' + M'R * ; et, à plus forte raison,
ifp' + iïQ* + mr' < Ht' + iï'Q' + ïH*.
Consiéquemment le point M est tel, que la somme des carrés de ses dislances aux points P, Q, R, est un minimum. Ce point est donc (Th. III) le centre des moyennes dislances du u-iangle PQR.
Menons la droite CU , et soit C le point où elle eoupc le c6té AB. Abaissons CD, CE perpendiculaires sur AC, BC. Menons encore, des points P, Q, les perpendiculaires PG, QF sur ta médiane RM : ces droites sont égales entre elles. Enfin, soit CI la hauteur du triangle ABC.
Pour évaluer le rapport de AC
À BC, observons d'abord que les
triangles rectangles AC'D, ACI, évidemment semblables, donnent
De même.
BC' = BC— -
