BB' + CC')BC=(BB'+CC
D'un autre càié, Paire du triangle SB'C est l'B'.I'C. La quantité qu'il faut rendre minimum est donc
(BB'-i-CC') — -.-l'B'.rC.
Ea négligeant le facteur constant l'B', ainsi que le terme constant ' BB',Qn la réduit ji
ce
Prenons à part le irapèze ICi'C, dans lequel les deux côtés . perpendiculaires IC, II' sont donnés; menons C'G parallèle à CI. A cause de CC^II' — GI', il nous suffira de chercher le minimum de la quantité
A cet effet, désignons C'G par a, Gï par x,
l'C — -^par z; nous aurons
d'où
Celle équation du second degré a ses racines imaginaires tant que 8* est inférieur à fa'. Conséquemmenl, le minimum de s est aV'\, et la valeur correspondante de x est -^■
De là résulte que : la surface latérate du polyèdre proposé est bi plus petite possible, quand la différence entre les arêtes BB' et CC est le quart de la diagonale du carré construit avec AB comme côté.
Remarque. Le polyèdre dont nous venons de nous occuper est celui qui constitue chacun des alvéoles de l'Abeille.
mWimc SVII.
On donne, dans un tétraèdre, deux couples d'arêtes opposées. Déterminer les deux dernières arêtes, de manière que le tétraèdre ait un volume maximum (*).
(*) Concours génâral des Lycées de ProDCC, 1874. — MaIMmatitpui
DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMEIfTAIIlE. 577
1® Si chacune des arêtes AB, CD, AD, BC est plus petite que la somme des trois autres, il existe toujours un tétraèdre admettant ces quatre arêtes ^ et dans lequel les dièdres BD, AG sont droits.
En donnant à l*aréte BD une longueur convenable, on pourra
construire les triangles BAD, BCD, puis les assembler à angle droit.
Supposons que, le dièdre BD restant droit, on fasse varier la longueur de BD. La plus petite valeur qu^on puisse lui attribuer est la plus grande des différenoes entre AB, AD, d'une part, et BC, CD, de lautre. La plus grande longueur de BD est la plus petite des sommes AB + AD, BC + CD. Lorsque cette longueur varie entre son minimum et son maximum, Tangle dièdre AC varie, d'une manière continue, entre zéro et 2 droits : à un certain moment, il est donc devenu droit.
3^ Le volume n'est pas maximum ^ si aucun des dièdres BD, AC n'est droit.
Supposons que le dièdre BD ne soit pas droit. Soit AP la hauteur du tétraèdre; et soit PH perpendiculaire à BD : AH est perpendiculaire à BD. Si Ton fait tourner la face ABD autour de BD, de manière à rendre droit le dièdre BD, la base BCD ne j change pas; la hauteur AP est remplacée par AH; donc le volume a augmenté : il n'était pas maximum.
3® Le volume est maximum quand les dièdres BD, AC sont droits.
Cette proposition résulte de ce qui précède (Prob. XIV).
élémentairet. Nous reproduisons, en partie, la solution de M. Paulbt, élève da Lycée de Marseille, lauréat du concours.
THËOBfcllES ET PROBLÈMES
TrouveTid'aprè* Ui données mivanUt,le volume d'un polyèért ABCD\R'C'b',ai/antpourfacei deux reclangUt ABCD, A'B'C'D, et quatre trapèze» ABA'B', BCB'C, CDC'D , DAD'A'.
AB = fl =2",50,
BC = 6 — l"^0,
hauteur = h =0-,50(').
Le plan racné par les aréius opposées A'B', CD, décompose le polyèdre en deut prismes iriaogulaires ironqués, B'CC'A'DD", BB'CAA'D. Pour mesurer chacun d'eux, menons un plan EPË'F perpendiculaire à AB :
I jniersection ET, ayec A'B'CD, détermine les gectiom droitei EË'P', E'FE' de nos troncs de prismes.
Cela posé, le théorème sur la mesure du prisme triangulaire tronqué donne [G-, 561.] :
vol, B'CC'A'DD'— E'FF'.1{A'B'-*- CD* + CD),
(') Celte fonne et ces dimensions Msleeneidet laa de pierre» que leseoRfMMinv disposent le long du ronle*.
DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMBRTAIRE. 57»
c*est-à-dire
vol. B'CCADD'» E'FF". - (ïa' -h a),
vol. BB'CA AD ^ EET 4 (2a + a').
Les triangles E'FF', EET, dans lesquels se décompose le trapèze EPE'FS ont pour hauteur h; donc
E'EF'=l6'*, EF?^ibh; puis
wd. B'CC'A'DD' — \ (2a' -4- a)b'h ,
t7oL BB'CAA'D = i (2a -f- a')6A.
Ajoutant ces deux expressions, nous aurons la formule cherchée :
V=3 - [(2a ^ a')6 + (2tt' -+- a)6']fc. Dans l'exemple proposé,
Problème miX.
Déterminer le volume d'un polyèdre ayant pour faces deux polygones quelconques ABC..., A' B'C'..., «i7ué5 dans deux plans parallèles^ et une série de triangles ABA', A'B'B, BCB'... (*)•
" (*) La figure représente une projecUon da polyèdre, faite sur un plan parallèle aux deux bases. De plus, et seulement pour fixer les idées, on a supposé la projection de Tune des bases intérieure & la projection de Tautre.
390 Tn£ORfelIES ET PROBLÈMES, ETC.
Au moTen de plans menés par les aréics.perpendiculairemcnt aux plans des bases, on décoRw pose le polyèdre en un prisme droit, projelé en A'B'C— , en une série de prismes triangulaires tronqués, projetés en ABA', BCB', CDB'...,et «i une auire série de prismes triangulaires tronqués, projetés enA'BB, B'CD.C'D'E...O.
Par conséquent, si B, B' désignent les bases du polyèdre; H, la distance des bases, ou la hauteur du polyèdre; S, la somme des projections ABA', BCB'...; S', la somme des projections A'B'B, B'C'D, C'D'E...; le volume cherché a pour expression
Pour simplifier cetle formule, considérons la section A.'&'C..., menée k égales dislances des deux bases. Nous aurons, B" étant Taire de cette section :
