LIVRE] VII

Tb«*r*Me I.

Deux poinU, réciproques par rapport à une sphère, partagent hamtoniquement le diamètre qui let contient. (Voyez Livre III, Th. XIX.)

Les distances d'un point quelconque d'une sphère, àdettxpoints réciproques, sont dans un rapport constant. (Voyez Liv. III, Th. XXI.)

1* Les tangentes menées à une sphéreS, d'un point extérieur A, sont égales entre elles; 2* le Heu de ces tangentes est un côn« de réoAutioH; 5* le lieu de leurs points de contact est «ne circonférence située dans un plan P, perpeiidiailalre au diamètre EF passant par A.

Par le diamètre EP, faisons passer divers plans : ils coupent la sphère suivant les circonférences

EBF. ECP, EDP Menons les

tangentes AB, AG, AD, ..., purs les rayons BO, CO, DO, ... . Nous formons ainsi des triangles rectangles ABO, ACO, ADO...,évideniraenl égaux entre eux. Donc, i' les tangentes AB, AG, AD, ... sont égales entre elles.

 cause de régalité des mêmes triangles» les angles BAO, CAO, DAO... sont égaux entre eux ; ainsi, 3* le lieu des tangentes est un cône de révolution.

Enfin, si nous abaissons, des points B, G, D..., les perpendiculaires BI, Cr, Dr... sur AO, toutes ces droites seront égales entre elles; et les points I, T, T... se confondront, parce que les triangles rectangles ABI, ACF, ADF... sont, d*après ce qui précède, égaux entre eux. Donc, 3* le lieu des points de contact B, C, D... est une ligne plane, etc.

Remarques. — I. On peut abréger la démonstration précédente, en supposant que la figure ABFE tourne autour de AO. Dans ce mouvement, la demi-circonférence EBF engendre la surface sphérique S ; la droite AB, qui ne change pa$ de longueur, engendre une surface conique, circonscrite à la sphère; enfin, le point de contact B décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à Taxe de rotation.

II. Le point E est le pôle du petit cercle BCD ; donc les arcs de grands cercles EB> EC, ED... sont égaux entre eux.

Vké«rèHM ÏÏW.

Le sommet d'un cône C, circonscrit à une sphère S, est le pôle du plan P de la circonférence de contact.

On appelle plan polaire d*un point A, relativement à une sphère S, le plan perpendiculaire au diamètre AO, mené par le conjugué du point A. Réciproquement, le point A est le pôle du plan.

Cette définition étant admise, le théorème consiste en ce que le point I, où le plan P coupe AO, est le conjugué du point A, etc. (Voyez Liv. III, Th. XXII.)

Le pôle A^ de tout plan P' passant par un point A, est situé sur le plan P, polaire de A.

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉHEUTAIRE. StS

Par le centre 0 de la sphère S, concevons un plan Q, perpeodiculaire aux plans P, P', Ce nouvean plan coupe P et P' suivant deux droites, dont l'une D' passe parle point A, et dont l'autre D est la polaire du point A, relativement h la circonférence C déterminée par le plan sécant. Il est facile de voir que le pAle du plan P', par rapport à la sphère S, se confond avec le pAle de la droite D', relativement i ta circonférence C. La proposition est donc ramenée au Théorème XXIII du Livre IIL

Le pion polaire P' de Umt. point A', prii ntr «n plan P^ poste par le pôle A de P.

(Voyez Liv. III, Th. XXIV.)

Corollaire. Si chacun de» pointe d'ttnpian V,extériewàune sphère S, e$t pris pour sommet d'un cône circonscrit à la sphère, les plans ries circonférences, suivant lesquelles tous les cônes ainsi déterminé» touchi-nl la sphère, se coupent en un même point A, pôle du plan P.

TkéorèHa TH.

Le pôle A de tout plan P, passant par une droite V, est sitvé sur la droite D', réciproque de la première.

Nous conviendrons d'appeler droite* réciproques deux droites passant par deux points réciproques, perpendiculaires entre elles, et perpendiculaires au diamètre qui conlienl les deux points.

Cela éunt, prenons, pour plan de la Dgure, celui qui passe par le centre O de la sphère et par la droite D'. Abaissons OE' perpendiculaire à celte dernière droite ; soit E le point réciproque de E' : |ji droite D sera la perpendiculaire au plan de la figure, projetée en E; et le

Sg4 THÊORËHEB ET PROBLÈMES

plao P aura pour projection une droite telle qae BEC. D'aillean, le p6le A du plan P est le conjugué du pied A' de la perpeudiealairc abaissée sur ce plan, par h centre O de la sphère (Th. IV). Donc ce pâle est situé sur la droite D*.

Le plan polaire P de tout point A, prit stir tau droite D*, patte par la droite D, réciproque de la première.

(Voyez Th. VI.)

Tk^arèMC IS.

Toute corde, menée par un point A, eit ditntée harmoniquement par ce point et par ton plan polaire P.

Par la corde et le centre de la sphère, faisons passer un plan Q; it coupe la sphère suivant une circonférence de grand cercle; et il coupe le plan P suivant une droite, polaire du point A relativement i cette circonférence (Th. V) ; donc, etc. (Voyez Liv. III, Th. XXV).

Tb««rfeMe X.

Le lieu des pôles d'une droite D, relativenient à tout les cercles situés sur une sphère 5 et passant par cette droite, est la droite D', rédproque de D.

Soit O In circonférence de grand cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite D. Soit, en outre, A la projection de celle-ci. Tout petit cercle de la sphère , passant par celte droile D, est projetée suivant une corde BC concourant en A; et il a BC pour diamèlre. Conséquemment, le pôle U de la droile D, par rapport à ce petit cercle, est situé sur la corde BC. Et comme le diamètre BC doit être par-

tagé harmoniquement par D et M, il s*ensuit que ce pôle est rintersection de BC avec la polaire EF du point A, relativement au grand cercle 0. Le lieu des pôles de la droite D est donc cette droite EF, laquelle, évidemment, est la réciproque de D.

Théorème XI«

Le lieu des polaires d'un point A, relativement à tous les cercles situés sur une sphère S et passant par ce point, est le plan polaire de ce même point.

La démonstration est analogue à celle du théorème précédent.

Théorèaie XII.

Le lieu géométrique des points d'égale puissance, par rapport à deux sphères S, S\ est un plan P, perpendiculaire à la ligne des centres.

On reconnaît facilement que si, par un point fixe, on fait passer une droite quelconque, terminée de part et d'autre à une sphère donnée, le rectangle des segments de cette corde, déterminés par le point, est constant.

Ce rectangle constant est appelé puissance du point par rapport à la sphère.

Cela posé, la proposition est immédiatement ramenée à la proposition analogue de Géométrie plane. (Voyez Liv. III, Th. XXXVIII.)

Remarques. — I. Le plan P est appelé plan radical des sphères S, S'. Il se confond avec le lieu des points d'où Ton peut mener, aux deux sphères, des tangentes égales.

II. Si les sphères se coupent, le plan radical contient la circonférence commune.

III. Si les sphères se touchent, le plan radical est le plan tangent commun.

rVofex lir. ni. Th. XXXDL)

Bemarqmet. — L la droite D ett

iiptières*