ACE — ADF = HAE - II'AK

ou encore

ACE— ADF-=HAH'.

Ainsi, la différence des angles formés par les droites EC, DF avee la double-corde CD, est constante cl égale à l'angle des deux tangcnies. De là résulte que, si nous prolongeons EC, DF Jusqu'à leur rencontre en M, l'angle CMF sera égal à HAH'.

Remarque. Si la corde CD reste fixe, et que la corde ËF tourne autour du point A, le point M varie de position, mais de telle sorte que l'angle M est constant. Donc ce point M décrit un are capable de l'angle HAH', passant par les points C, D [G., 192],

Si y à un cercle I, inscrit à un angle 0, on mène des tangentes intérieures ùu extérieures : \^ les tangentes intérieures AB déterminent des triangles ayant métne périmètre; 2^ les tangentes extérieures CD déterminent des triangles dans lesquels l'excès du demi-périmètre sur le côté CD est constant; 3** enjoignant le centre aux extrémités des tangentes extérieures ou intérieures ^ an forme des angles constants pour chaque espèce de tangente; 4" les angles au centre, pour la tangente extérieure et pour la tangente intérieure, sont supplémentaires.

1** Dans le triangle OAB,

AP==AN, BP=BM; [C, 195] donc

OA -*- OB -t- AB « ON -^ OM =» 20M. 2o Dans le triangle OCD ,

CQ=«CN, DQ = DM; donc

OC -*- OD — CD « ON -4- OM = 20M; ou

3^ L*angle AIB est constant; car il est égal à la moitié de Tangle NI M, supplément de Tangle donné 0.

De même, Tangle CID, égal à la demi-somme des angles NIQ» MIQ^est constant.

4* La somme des angles NIM, NIQ, MIQest égale à 4 angles droits; donc les angles AIB, CID sont supplémentaires.

Remarque. La première partie du théorème a déjà été indiquée (LiV. I , Prob. IX).

THËORÈHES KT PKORLÈHES

1" Le» tegments déterminés, sur les cotés d'un triangle, par les points de contact du cercle inscrit et d'un des cercles ex-inscrits, sont égaux, chacun, au demi-périmètre moins un côté; 2* ta somme des segments est égale au demi-périmètre.

Considérons, sur le côté AB, les segments AD, DB, BH, déterminés par le point de contact D du cercle inscrit 0 et par le point de conlacl M du cercle cx-inscril 0'. Nous aurons, en représenisnl par a, b, c les trois eâlés du iriangle, et par 1p le périmètre :

\' 2/>=AB + BG-+- AC + CG = AB -i- BH + AC -»- Cl = AH-+- A1 = 2AH;

donc

p = tM.

a- 2p = 2AD + 2BF -»- 2CF = 2AD + 2BC;

AD = p — o.

3* 2p = 2BD -H 2AE ^- 2CE = 2BD -I- 2AC ; pttis

BD = p — 6.

Remarques. — I. A cause de p= AH = AD + BD + CF, on conclut

BH=oCF, ou