MC = SH
Le quadrilatère MC'HS, oyanl deux côtés égaux et parallèles, est un parallélogramme. Donc le point I, où se coupent les dtagonales'MH, es, est le milieu de HH.
Remarque. Si te triangle ABC est équîlaléral, le point H coïncide avec le centre O de la circonférence. Ainsi la droite de Sinuon, relative à un triangle équilatéral, paste au milieu I du rayon mené au point donné (*).
(*) En antre, le point I «( alon le centre de* moyenne» dâlancet det pro- FmMmm A', B*, C (faM. (Steinh, A^otKrih» v^fmofw, tome I).
THËOKÈMES ET PROBLÈMES
Tkèsrènc XI.
Les bissectrices EP , EPi, des angles formés paj- les colésopposr g d'un quadrilatère inscrtptible , ABCD, sent perpendiculaires fntt e elle».
EMP éianl la bisseclrice de l'nngle AËD, on a [G 191]
arcAV — orcBM = are DP — oreCM.
De même,
AM — DQ = BN — CQ.
Un dcduil, de ees cgalrièx, PN — BH — DQ -= DP + BN - MQ,
PN + MQ = 1>Q + MN.
Par suiic, les angles PON, MON :son[ égaux, comme ayanl même mesure; donc les droiles KP, FN soiil perpendiculaires l'une à l'autre.
Remarijue. La réciproque esl vrnic.
Thtar^me XII.
Dam tout quadrilatère inscrit , ayant ses diagonales perpendiculaires entre elles, la perpendiculaire MP, menée à l'un des cotés, CD, du point d'intersection des diagonales, patte au milieu du calé opposé (*).
L'angle ACD est le complémeni de CMP=AMQ;done ACD = BMQ. Mais ACD=ABD; donc BMQ = ABD. Le
(') Tbéorcmc de Brahmioupta (Cbislgj, Aperçu Aiiforiquc, 3*°* édilioD, p. 438).
DE GÉOMÉTRIE ÊLÉHEKTAIRE. »
iriaiigle BMQ, ayant deux angles égaux, est isoscèlc; cl, en conséquence :
BQ =^ HQ => AQ.
Le» circonférences qui ont pour cordes les càlès d'un quadrilalère inscripiible, ABCD, donnent lieu, par leurs nouvelles intersections, à un qwtdrilaiére inscripiible A'B'C'D'.
La somme des trois angles en C est
Mais
B'C'C + BBC = V, D'CC -i-D'DC = 2'; donc
D'C'B' = B'BC + rVDC.
On prouveruil, de même, f[ue |1»A'B' = B'BA -h D'DA.
Ajoulan* on obticni
D'C'B' + D'A'B' = CBA + CDA = 2'' ; donc le quadrilatère A'B'C'D' est inscriptible.
Théorène KIT.
Les points de concours 0, 0', O", 0'", des hauteurs des triangle» déterminés par les sommets d'un quadrilatère itiscriptibte , ABCD, sont les sommets d'un quadrilatère égal au premier.
Soient O", O' les points de concours relatifs aux triangles
M THÉORÈMES ET PBOBLÈHE»
A lîl), ACU. D'après le Théorème 11 (Rem. IV), les droites B"0, C'O sont égales et parallèles; donc O'O" est égolc e( parallèle à BC.
On dcmoiitrerait, de la même manière, que les oulres côlés du <|uadrilatère 00'0"0"' sont, respectivenieni , égaux et parallèles il ceux du quadrilatère donne. Ces deu\ figui-es sont donc égales.
Remitrifacs, — I, Les doux quadrilatères, et W circonro rinces qui les coniionnenl, sont, deux à deux, symétriques par rapport au eentre I du parallélogramme ItCO'O".
II. La démonstration prccédcnle repose, essentiellement, sur la Remarque I (Th. II). Celte remarque peut èire énoncée ainsi : Lorsque des triangles ont même base, el même angle au sommet, le lieu des points de concours des hauteurs de chacun d'eitx est l'arc symétrique, par rapport à la base, de l'arc qui contient te sommet variMe. On en conelut la proposition suivante :
Th^r«ne XV.
Un polygone inscrit , de n côtés, étant décomposé en triangles, au moyen de diagonales; les points de concours des hauteurs de ces triangles sont sitrtés, n — 2 à n — 2, «wr^^-^^circon/erencca, symétriques de la cifxonférence donnée, relaliveme7it aux côtés OH aux diagonales du polygone (*).
(') l^e nombre lattl des points de renconlrc est *'', ', j " ■
DE UÉOHÊTRIE ÉLÉMENTAIRE.
D'un point H, appartenant à une àreonfirence O, Ton mène Imis cordes MA, MB, MC; sur cet droite», priaes comme diamètres, on décrit trois circonférences : les points P, Q, R, où ces lignes se coupent deux à deux, sont titués sur une même droite.
Menons les cordes AB , BR, BP, CP, CQ , AQ , MR , MP, MQ. Les angles MRA, MRB, inscrits à des demi-ccrclc», sont droits; donc ARB est une ligne droite. Pour la même raison, BCPeiCQAsont des lignes droites.
De là résulte que P. Q, R sont les projections de M sur les côtés du triangle ABC, inscrit k la circonférence O. Donc, d'après le Théorème de Simson , ces points sont en ligne droite.
Tkésrèan XTII,
Si, par le point de contact Ode deux circonférences , on mené deux doubles-cordes AD, BC, les droites AB, CD, qui joignent lot extrémités de ces cordes, sont parallèles.
Si nous menons la tangente commune £P, les angles OAB,
a THËORÈMeS ET PSOM-tMES
BOFiieronié^uiL,coaiiaea;aDlpouriDesnre^arrOB [G., 186]; de iD«iDr, ODC==EOC. Mais les angles BOF, EOC opposés par le sofnmel, sont égaux; donc 0AB = 0IM:; donc les droites AB, eu sont parallèles, comme Taisant avec AD des angles alternes inienics égaux.
Si, fxir le point d'intersection A de deux cirtonférentes O, O', vn mène deux doubles-cordea CD, EF, le* droites CE, DF, qui joignent le» extrémités de ces corde», font entre elles un angle constant.
Menons, par le point A, les droites GAH, G'A'H', rcspedivenienl langrntes aux deux rirconféreiices. Nuiis aurons
AUF= H'AE, ALE = HAE; d'où
