CD'^AB, BD" = AD
Ainsi, les segments déterminés sur un côté, par les sommets, et par tes points de contact de deux des cercles ex-inscrils, sont égaux entre eux.
Ilï. A cause de
BF = CG = p — ft, t;i)' = Bl)" = p — a.
46 THÉORÈMES ET FROBLÈMES
on Irouve aisémeni
D'D"=6-»-e, PC=c— 6, CD' = FD"=e, FD'=.GD"=*6;
c'esl-à-dire que
V La distance det points de contact situés sur les prolongements d'an côté est égale à la somme des deux autres côtés; 2* la distance des points de contact situés sur un coté est égale à la différence des deux autres calés, elc.
\,V, l", l'" étant les centres du cercle inscrit et des cercles exinscrits à un triangle ABC : 1* Les circonférences décrites sur II', ou sur ["]"' comme diamètres, passent aux sommets B, C; ^ les circonférences décrites sur II" ou sur \'l"', comme diamètres, passent aux sommets C, B ; 3' le» circonférences décrites sur 11'" ou sur M", comme diamètres, passent aux sommets A, B: 4* toiites ces circonférences ont leurs centres sur la circonférence circonscrite; S* les cordes A'B', B'C, C'A' sont, respectivement, perpendiculaires sur les milieux des droites Cl, AI, Bl.
Les angles IBI', ICF étant droits, la eireonfércnce décrite sur II', comme diamètre, passe aux sommets B^ C; le centre de cette circonférence, point milieu de ir, est situé sur le diamètre \'\" perpendiculaire à BC; et, comme la bissectrice II' de Tangle A passe au milieu A' de Tare BC, ce point A' est le centre dont il s'agit.
Les angles r"Br', r"Cr étant droits, la circonférence décrite sur F'^^ comme diamètre, contient les sommets B, C; le centre de cette circonférence, point milieu de ]"T\ est situé A'A"; d'ailleurs Y'I'" passe par le milieu A" de Tare BAC , etc.
Enfin, à cause de A'C = A'I, B'C = B'I, la corde A'B' est perpendiculaire au milieu de CL
Dans tout triangle, la somme des rayons des cercles ex-insa^ils est égale au rayon du cercle inscrit, augmenté de quatre fois le rayon du cercle circonscrit.
Désignons par R ce dernier rayon, par r le rayon du cercle inscrit, et para, |3, y les rayons des cercles ex-insrrits T, 1", T".
Le |)oint A' étant le milieu de H', il en résulte, par la propriété du trapèze [G., 155],
Pour la même raison,
Conséquemment,
etc. (*).
(*) Cette démonstration très-simple et celle qui suit, ont clé données par M. Mention (youveUè» Annates de Mathémaiique» , tome IX).
Tkf«rèMe VTKIII.
Dans tout triangUy la somme des rayons du ceixle inscn'l et dv cercle circonscrit est égale à la somme des distances des côtés au cêtitre du cercle circonscrit.
Soienl Oi , 6| , c, les distances des côtés BC,CA , AB au centre 0. La valeur précédente de A'P donne
ou
2ffj = 2R -♦- r — a.
De même,
2fc| = 2R -h r — j3,
2r, = 2R -+- r — r • Donc
2(ri, -*- ft| -4- Ct) = fiR 4- 3r — (a -h ^ -i- r) ; cVst-à-dire, à cause de
Oi -H 6, -♦- r, = R -H r.
Remarque, Dans Tapplicalion de ce tliéoréme^ une distance doit être consiilérée comme négative lorsquVlle est extérieure bu triangle.
Théorème m 1(11'.
Si, par le centre 0 d'un cercle, on élève, à un rayon OA, la perpendiculaire OC égale à la corde AB d^un arc ABD; Varc décrit du point C comme cefitre, avec une ouvet^ture de compas égale au rayon du cercle^ divise en deux parties égales l'arc donné.
DE GÉOMÉTniE ÉLÉMENTAIHE. 49
Les triangles isoscèles AOB, ODC sont égaux, comme ayant
les côtés égaux y chacun à chacun; donc
œD « OAB.
Les compléments de ces deux angles sont, respectivement, AOD et |àOB; donc enfin
AOD » - AOB.
Théorème XTLW.
Étant donnés une circonférence 0 et un rayon prolongé OA ; $i, au point A , on mène une perpendiculaire AB à ce rayon, et une sécante ADE à la circonférence; puis que, par les points d'intersection Dy E, on mène des tangentes DC, EB, ces droites détermi-nent, par leurs intersections avec la perpendiculaire, deux distances égales AB, AG.
Tirons les droites OB, OC et les rayons OD, OE. Si OC r»OB,
les distances AB, AC seront égales, et le théorème sera démontré.
Décrivons sur OB, comme diamètre, une circonférence : elle passe par les points E, A , parce que les angles OEB, OAB sont droits. De même, la circonférence décrite sur OC, comme diamètre, passe par les points D, A. Cela posé, les angles OAE, QBE. sont égaux, comme inscrits au même segment OE; semblablement, les angles OAD, OCD sont égaux. Donc les angles QBE, OCD sont égaux. Par conséquent, les triangles rectangles QBE, OCD sont égaux ; et
