OB = OC

THÉORÈMES ET PROBLi'.MRS

XXTI.

Si ABCD est un quadrilatère inscrit, les centres M, N, P, Q,

des cercles inscrits aux triangles ABC, ABD, ACD , BCD, sont

les sommets d'vn rectangle,

i' Soient E, F, G, H les milieux des arcs eonsécuufx AB, BC.CD.DA.

Je dis que les eordes EG , FH son! perpendiculaires enirc elles.

En effet , I élnni le point où se coupent ces droites, Pangle EIF n pour mesure

- (orcEB ■+■ arcBt ■+■ arcGD •«- arcDH)

Les points M , N appartiennent 6 la eirconfêrence décrite du point E comme centre, avec EA pour rayon (Th. XXI); donc la base MN du triangle isoscèle HEN est perpendiculaire k la bissectrice EG de l'angle D£C; etc.

Si fo« circonscrit des circonférences aux triangles fitrmés par c/iflcun des côtés d'un pentagone ABCDE et tes prolongements des côtés adjacents, les cinq points d'intersection de ces lignes sont sur «ne même circonférence.

Soient ABF, BCG, ... les triangles dont il s'agit. Les circoo- Krences eïreonseriies à ees triangles se coupeni, consécutivement, en L, M, N, P, Q : il faut démontrer que ces cinq points sont situés sur une même circonférence.

DE GÉOMÉTRIE fiLÉHENTAIRE. SI

Si nous considérons le quadrilaière complet ABCIFG , nous

conclurons, du TliéoréuK VIII, que les circonférences circonicrites aux triangles ABF, BCG, FCI, se coupent au point L.

De même, les circonférences circonscrites aux triangles CDH, EDI, FCI, Tormés par les cAtés du quadrilatère complet CDEFIH, se coupent au point N.

La circonférence circonscrite au Iriangle FCI passe donc par les poinU L, N.

Aetueilemenl , les eirconrércnces ABF, FCI ayant, avec la circonférence qui passerait par les points L, N, Q,un point commun L, et la droite FAI passant par l'iniersection F des deux premières circonférences, il résulte, de la réciproque du Théorème VIII, que si l'on joint les points A, I aux intersections de ces deux lignes avec la troisième, les droites QA, IN, prolongées, se coupent sur cette troisième circonférence.

En considérant le triangle ARI , et les points Q , N , E , situés lur les trois c6lés, nous voyons que les circonférences QRN, NEI, QEA doivent se couper en un même point. Donc ta cîrcon-

as THËORËHBS ET PROBLEMES

Ureace QLN passe au point P, intersection des circonférences DEl, AEK.

On verrait, de la même manière, que cette ligne contieDi aussi le point M.

Donc les cinq points L, M, N, P, Q appartiennent k une même circonférence (*).

Tlif*r«aic XXVIII.

A', B', <;' étant les projection» d'un même point M, sur les cotés BC, CA, AB d'un triangle ABC ; les perpendiculaires abaissées, des sommets A, B, C, sur B'C, C'A', A'B', concourent au point M', symélrit/ue de M , relativement au centre Idela circonférence circonscrite au triangle A'B'C.

Les angles CA'M, CB'M élanl droits, les points A', B' appartiennent à la circonférence décrite sur CM comme diamètre. Soit G le centre do celte circonférence : la droite Gl est perpendiculaire au milieu de A'B'; donc, à cause de 1M' = IM, la droite CM' est parallèle à GI, c'esi-à-dirc, perpendiculaire sur A'B'.

(') Ce curieux ihéiirime ■ élc donné, en 1836, pnr Auguste Hiqkl, tion i\ive ï l'Ioslitiition Barbet.

L'année demiire, M. G. de Longchamps, professeur au Lycée de Poitiers, I publié nn remarquable Mémoire sur des systèmes de droites on de cercles. Nom en extrayons le tbéorime snirant, qui a une certaine analogie avec celui de Mlquel.

Stùl un pentagone formé par cinq tranntrtalei. Si l'on eontfdère tei tinq quadrilalèret tUlerminéi par cm droilei, prùa quairt à quatre, pvU lu einf eireomfirtnceM aiaqtuUei doimeiU litu ces quadrUatèrei (Th. Vlll, 3') :

i* Cet etreonférenea it coupent en vn mime point !

t* Lewt eentrei appartietuitid à une mime eireonfireitee (Voir t/ouvelte CorretpoiidaneeMaHiémalique,lomel\\,fp.50fi et 540).

Bemarqtut. — I. Si le triangle A'B'C est constant, et que le point M décrive une certaine ligne, le point M' décrit une ligne égale.

II. Les angles A'CM, A'B'iM sont égaux , comme inscrits au mém« segment. Les angles A'B'M, M'GA sont égaux, parce qu'ils ont les cAtés respectivement perpendiculaires. Donc, A'CM = ACM' : let droites CM, CM' sont également iHctinée* tw la bissectrice de l'angle C. Par conséquent :

Soient AO, BO, CO les bissectrices des angles intérieurs d'un triangle ABC ; soient a, b, c les symétriques, relativement à ces droites, d'un point donné M : les droites Aa, Bb, Ce conomtrent en un point M', symétrique de M relativement au centre l de la circonférence passant par les projections A', B', C de M , sur les côUs du triangle ABC.

En effet, d'après la construction , les droites AU, Aa, par exem[Je, sont également inclinées sur AO.

Remarque. I étant le milieu de MM', les obliques lA', IP sont égales.

Donc, les six projections A', B', C, P, Q, R appartiennent à une même circonférence (*).

TkterèMe SXX.

Si trois droites D, E, F, tangentes communes à trois drconféremxs A, B, C, prises deux à deux , concoureitl en un point R;

(*) Ces propriétés reçoivent leur application dans la théorie de l'ellipse.

THÊORfeMGS ET PKORLÈMEK

les tangentes communes D', E', F', conjuguée* des jtremières, concourent en un point R' (').

Soi! B' le poinl d'intersection des tangentes D', E': il faut démontrer que ce point est situé sur la tangente F'.

A cet effet, imaginons la tangente T, autre que D', menée du point R' à la circonrérence R; et vérifions qu'elle touche la circonférence A (**).

Soit H le point où T coupe F. On a, dans le quadrilatère RHR'G, circonscrit à la circonférence B :

HR + HR' = GR ■«- GR' f).

(*) Deui tangentes communes eoq/u^u'»* ont symilriquespir rapport à la ligne des centres.

("] On ne peut représenter cette Ungcnlc auxiliaire, puisqu'elle ne dîffire p«s de F'.

, ('") G.iM.<îaaaiie qttodrilùtèrtesteoimtxr, la eàléioppotùfpri* deux

De même, dans le quadrilatère RKR'G, circonscrit à la circonférence C :

KR + KR' = GR + GR\

<]onséquemmeif(,

HR + HR' = KR ^ KR.

D après cette égalité, le quadrilatère KRHR' est circonscripiible. Or, trois côtés de cette figure sont tangents è la circonférence A; donc, le quatrième côté, R'H, Test également.

Des cordes qui joignent un point M d'une circonférence ^ aux sommets d'un triangle inscrit, la plus grande, MB, est égale à la somme des dettx autres, MA , MC.

Prenons, sur le prolongement de AM, MP =* MC. II résulte,

de cette construction,