BO — BC = OT' — OT

La question est donc ramenée au Problème X.

Remarque. Si, au lieu de la tangente AT, on considère la tangente AT|, on aura

B J = B4O 4- OT, BJ, == Bfi' — OTi ;

doù

B.O' — Bfi = OT H- O'T,.

ProMème XILXV,

Par un point A, situé hors d'une circonférence 0 , mener une sécante ABC qui soit divisée en deux parties égales par la circonférence.

Tirons OB, OC, et prolongeons OB d*une longueur égale BD.

74 THÉORËHES ET PROBLÈMES

Les triangles ABD, OBC seront égaux, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux; donc AD = OC. De là résulte la construction suivante :

Du point A comme centre, on décrit une circonférence égale à la circonrérencc 0; du point 0, comme centre, avec un rayon double du premier, on trace un arc qui

coupe en D la circonférence A. Enfin l'on mène OD, qui coupe,

au point clierché B , la circonférence 0.

Remarque. Pour que le problème soit possible, la disinnoc AO doit élre inférieure à la somme des distances AD cl OD, c'est'i-dire moindre que trois fois le rayon.de la circonférence donnée. Dans ce cas, les arcs de cercles décrits des points A , O, comme centres , se coupent en deux points D , D' ; et il y a deux droites ABC, AB'C satisfaisante la question.

Inscrire, à un cercle donné O, une corde CD, de longueur donnée L, qui soit partagée en deux partie» égales par une corde donnée AB.

Soit E le point d'inlerseelion de la corde inconnue CD avec la corde donnée AB. Joignons ce point au centre O par la droite OE : celle-ci est perpendiculaire à CD ; eonséquemnienl, la corde CD sera tangente è la circonférence décrite du point O comme centre, avec OE pour rayon. Or deux eordcs également éloignées du centre sont égales [G., 1 68]. Si donc nous inscrivons au cercle 0 une corde quelconque GH égale A t , et que nous décrivions ensuite une circonrérenee concentrique & la première et tangente à GH, cette ligne passera par le point cherché E.

Remarque. Lorsque le problème est possible^îl admet généralement deux solutions.

Par un point M, donm sur un diamètre XB, mener une transversale CD telle, que rare AC soit le triple de BD.

11 y a deux cas à distinguer, selon que le point M est situé sur le diamètre AB ou sur son prolongement.

Premier cas. Menons le rayon OD : nous formons ainsi un

triangle MOD, dans lequel Tangle 0 a pour mesure BD. Mais Tangle BMD n pour mesure ^ (AG + BD), ou 2BD. Donc langle extérieur BMD est double de Tangle intérieur 0 : le triangle OMD est isoscèle, et MD=OD.

On décrira donc, du point M comme centre, une circonférence ayant pour rayon MO. Si MO est plus grand que MB, cette circonférence coupe, en D, D', la circonférence donnée; et Ton trouve les cordes DMC, D'MC, qui satisfont à la question.

Second cas. Si le point M est situé sur le prolongement du diamètre AB,on a encore MD = OD.

Problème XIKXVIII.

Décrire un cercle qui touche une cinonférence donnée C et

qui touche, en un point donné \y une droite donnée PQ.

Soit 0 le centre du cercle demandé. Comme ce point appartient à la perpendiculaire élevée, par le point A, à la droite PQ, il suffit de con-

naître une mtre drmte sur laquelle il soit situé. Or si Yoo prend, sur la perpendiculaire, une distance AB égale an rayon de la cÏFConféreace donnée C, et que l'on mène CB, le triangle OBC sera isoscèle. Par conséquent, le centre apparUeni à la perpeudiculaire élevée au milieu de BC

Décrire un cercle qui touche une droite donnée PQ et qui louche, en un point donné A , une circonférence donnée C.

Supposant le problème résolu , soit 0 te centre du cercle cherché. Ce point se trouve sur la droite CA qui joint le point de contact au centre du cercle donné. De plus, si l'on mène AD perpendiculaire à CA, le centre 0 appartient i la bissectrice DO de l'angle ADP; donc il est déterminé.

rrckltate xl.

Décrire , tur une corde donnée AB , une circonférence qui coupe u)ie circonférence donnée O, de manièi-e que la corde commtme CD soit parallèle à une droite donnée EF.

Lorsque deux cin^nférences se coupent, la ligne des centres est perpendiculaire k la corde commaoe [G-, 173]; donc 01 est perpendiculaire à CD, ou perpendiculaire à EF. D'ailleurs, le centre chercbé I doit se trouver sur la perpendiculaire élevée au milieu de AB; donc il est connu.

DE CËOHÉTnrE ÉLËHENTAIRE.

rrablfeme XLI.

Décrire, cTttn point donné 0, comme centre, une circonférence qui coupe une droite donnée XY, de manière que l'vn des deux arcs interceptés soit capable d'un angle donné a.

Soi«nt OM le cercle demandé, ei MAN le segment capable de l'angle donné a. L'angle au centre, MON, aie âa. Si donc l'on abaisse OB perpendiculaire sur XV, l'angle MOB, moiiié de MON , sera égal à «.

De la résulte lo construction suivanl(>: Du point donné O, on abaisse, sur In droite donnée, une perpendiculaire OB; on fait ail point 0, avec celle perpendiculaire, un angle MOB égal à l'angle donné»; puis, du point O comme centre, avec OM pour rayon , on décrit une circonférence.

Décrire une circonférence ayant pour centre un point donné O, et qui coupe les côtéi d'un angle donné BAC , suivant une carde DE parallèle à une droite donnée MN.

Du centre 0, abaissons OF perpendiculaire à DE : le point F sera le milieu de DE. Si nous menons AF, cette médiane, il est facile de le démontrer, divise en deux parties égales 'toute parallèle à la base DE du triangle DAE. En particulier, si l'on prolonge , jusqu'à leur rencontre avec MN, les côtés de l'angle donné, le segment GH sera partagé en deux parties égales par le prolongement de la médiane.

Pour iroiiver le point F, il faut donc :

i' Prolanger les cotés de l'angle jusqu'à leur rencontre , en G et en H, avec la droite donnée MN;â' joindre le milieu I de GH au sommet A ; 5* abaisser, d<i centre donne, OF perpendiculaire à MN.

Le poiiil F élnni coiinii, le rosie s'îiclicic nisénicnl.

Cormaiuaiil une circonférence C , un» droite XY et un point A Bttué tur cette dioile, décrire une circonférence qtti tomciM ta droite au point A, et qui coupe, lous un angle donné et, la ctrconférence C.

Soit OA la circonrérence eherchée. ^ tu point B, où elle coupe la circonrérence C, on mène les tangentes BD, BE, l'angle de ces droites doit être égal à à.

Si donc l'on inscrit, au cercle donné C, une corde MN qui en retranche un segment capable de l'angle a ou de son supplément, et qu'on décrive, du centre C, une circonférence tangente à MN, cette circonférence CP touchera la corde BË en son milieu F.

Cela posé, menons le rayon CG perpendiculaire à X Y ; joignons le point G au point de contact F, et prolongeons la corde GF jusqu'à sa rencontre, en H, avec XY. Ënfîn, supposons BE prolongée aussi jusqu'à eequ'clle rencontre XY en un point 1. Nous formons ainsi deux Iriangles FCG, FIH tels, que tes angles CGF, CFG, du premier, sont les compléments respectifs des angles HIF, IFH du second. En eifet, CG et CF sont, respectivement, perpendiculaires k )H ci lE. Mais CGF = CFG; donc IHP=IFH;puislF=IH.

DE GËOHÉTItlE ÉLÊHEHTAIRr.. T9

D'un autre côté, les tangentes lA, IB sont égales entre elles , comme issues d'un même point; ainsi, BP = AH.

Pour trouver le point H, on prend donc AH = MP = iMN. Le point H étant connu, on mène la droite GH, laquelle, par son intersection avec la circonférence CP, donne le point F. Enlin, le centre cherché O est l'interseclion de AO, perpendiculaire è XV, avec OL, perpendiculaire au milii'u de HF.

Kous laissons au lecteur le soin de discuter le problème.

Connaissant deux circonférences Oi C, et un point A pris SUT l'une d'elles, on propose d'en décrire une qui passe par ce poifll et qui coupe les deux premières sous des angles connus

Supposant le problème résolu , soit I le cercle demandé. Menons, au cercle C, In langniie AD ; puis, an cercle I, In langenie AE :ecs droites formerorit, par hypothèse, un Bngle égal à a. Si donc l'on mène au point A une droite AE faisan), avec la (angcnie connue AD, un angle a, la question sera réduite ù décrire une circonrèrence touchant AE au point A, et coupant, sous un angle donné p, la circonférence 0 : c'est le problème qui vient J'élrc résolu.

Construire un triangle ABC, connaissant les côtés AB, AC, et aacliant que, si l'on mène la médiane AM , les angles CAM , CBA sont complémentaires.

Prolongeons lamédianeAM jusqu'à sa rencontre, en D, avec

80 THÉORÈMES ET P&OBLËHES

la circoDféreQce circonscrite; tirons la corde CD. Les angles B, D, inscrits au même segment, sont égaux; donc, d'après l'énoncé,

GAD-t-CDA = l';

ainsi ACD est une demîcirconférence : la médiane AM passe par te centre I.

La corde BC, étant divisée en deux [jarties égales par le diamètre, est perpendiculaire A celle-ci, à moins que le point M ne se confonde avec le centre I.

Il y a donc deux cas à distinguer :

1 " Si let côtés donnés sont égaux , l'angle A est quelcongtte ;

2' Si ces côtés sont inégaux, l'angle A est droit.

Quel «Il U lieu géométrique des sommets des tria$iglet ayant même base AB, dans lesquels la médiane AM a une longueur donnée L?

Si nous menons CO parallèle à AM, nous aurons BO = 3AB, et