OC = 2AH=2L
Le lieu est donc une circonrèrence décrite du point 0 comme centre, avec 3L pour rayon.
Prablfcm« Xl.TII,
Par un point D, pris sur le côté BC d'un triangle donné ABC, Ofl mène une transversale quelconque EDF. On trace les circonfé-
DE GÊOHËTRIE ÉLÉHENTAIRB. 81
rmces CDE, BDF. Quel est le lieu du second point M d'intersection de ces lignes?
Joignons le point M aux points B, C, D, et considérons le quadrilatère ABMC
L'angle BMC se compose des angles BMD,CMD. Or
BHn = BPD, GHD^AEF;
donc BMC — BFD + AEF = 2'-A.
Ainsi, Pangle BMC est le supplément de l'angle A du triangle ABC; et, par conséquent, le lieu géométrique cherché est la circonférence circonscrite au triangle ABC.
Remarque. Ce lieu est indépendant de la position du point D.
Quel est te Heu du troisième sommet C d'un triangle ABC dont les angles sont donnés, dont le premier sommet A est fixe, et dont le deuxième sommet B parcourt une droite XY donnée? Soit A&c la position du triangle mobile, pour laquelle le c6té opposé à l'sngle A est appliqué sur XV. Dans le quadrilatère AcBC, l'angle AcB, supplément de Ac6, est supplémentaire de l'angle ACB, égal à Ac6. Donc ce quadrilatère est inscriptible; et, si l'on trace la droite cG, les angles BcC, BAC, inscrits au même segment, seront égaux. Le lieu du point C est donc la droite eC , faisant , avec XY, un angle égal à A (').
(*) Si la droite XY ut remplacée par une ligne quelconque, direetriee da tommet B, 1» Htu du point C al une eoarbe Êetnblable à la ditvctriee.
rrcMèMC SUS.
On irucrit, à un cercle donné, 0, tom les tritmgles ABC dont deux côtés \B, ÂC sont respectivement parallèles à deux direC' fions fixes. Quel est le lieu des centres des cercle» inscrits ou exinscrits à ces triangles (*) ?
Soient ce, B'B" les diamètres perpendiculaires à AB, AC: la corde BB' est bissectrice de l'angle B, et la corde CC', bissectrice de l'angle C. Donc le point I, intersection de ces droites, est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.
Traçons les cordes AB', AC : les triangles fi'C'A, B'C'l sont égaux, comme ayant un côlc commun, B'C, adjacent h deux angles égaux, chacun à chacun. Donc le
point I est symétrique de A , relativement h la corde B'C. Ainsi , une partie du lieu géométrique est l'arc symétrique de
C'AB', relativement à la corde B'C.
En considérant les autres positions du sommet A, et les centres
des cercles ex-inscrîts, on trouve que le lieu complet se compose
des quatre circonférences symétriques de 0, par rapport aux
cordes B'C, B'C", B 'C, B "C ".
Remarque. M étant un point quelconque de Tare B'CBC, Tore B'IC, symétrique de B'AC, est le lieu géométrique da point où concourent les hauteur» du triangle B'MC (Th. XIV, Rem. II).
(*) CoDconra géoénl, 1873.
