OC.OD=W

Remarque. L'énoncé peut être ainsi modilié : Lorsqu'une droite AB est partagée karmoniquement en C, D, la moitié de cette droite eat moyenne proportionnelle entre les distances de ion milieu aux points C, D.

Lorsqu'une droite AB est partagée karmoniquement en C, D, la circonférence, décrite sur AB comme diamètre, coupe orthogontdement toutes les circonférences passant par les points C, D.

Soit M l'un des points d'intersection des deux circonférences. D'après le théorème précédent , le rayon OM est moyen proportionnel entre OC et OD : ce rayon est donc langent, en M, li la circonférence CD. En d'autres termes : les tangentes MO, MO', aux circonférences CD, AB, sont perpendiculaires entre

elles. C'est ce qu'on exprime en disant que les circonférences

sont orthogonales.

104 TBËORÈHES ET PROBLÈMES

Remarques. — I. Si, laissant les points C, D fixes, on fait varier les points A, B, les circonférences décrites sur les droites AB, A'B', A''B"... prises comme diamètres, coupent orlhogonalemcnt toules les circonférences passant par les points C, D (*).

II. Cette considération des systèmes de cercles orthogonaux sert de base à la projection sléréographique (**).

Les distances d'un point quelconque M d'une circonférence, à deux points réciproques C, D, sont dans un rapport constant. Les droites MA, MC, MB, MD forment un faisceau harmonique, dans lequel les rayons conjugués MA, MB sont perpendiculaires entre eux. Donc, d'après le Théorème \VI (Rem. III), ces droites sont les bissectrices des angles formés par MC, MD. Conscquemmcni, MC BC MD~BD

Le sommet D d'un angle circontcrit EDF a pour polaire la corde de contact EF.

On appelle polaire d'un point D, par rapport à un cercle O, la

I perpendiculaire au diamètre OD, menée par le conjugué du point D. Béciproquement, D est le pôle de la perpendiculaire.

Cette déiînition étant admise, le ihéorème énoncé consiste en ce que le point C , où EP coupe OD, est le conjugué du point D.

(*] On peut démontrer qu'il n'cxitle pat, dam un plan, dt lyilèmri d» eerehi orlhogonaux autrtt qut ceux qui réiullenl de celle conitraclioa (Journal de Liouville, tome XIX).

('*) Manuel du Bacealauréal (Cotmographic).

DE GËOH&TRIB ËLËHBNTAiRE. 105

Or, le rayon OE est moyen proportionDel entre l'hypoténuse OD et le segment OC; donc

OC.OD=»ÔB*.

Le pôle N, de toute droite GH passant par un point C, est sur la polaire EF de ce point.

Le pôle de la droite GH est situé sur OM, perpendiculaire i GH. Il Taut donc, pour démontrer le théorème, faire voir que le point N, où It-s droites OM, EF se coupent, est conjugué de M. Or, les triangles rcclangics CMC, ODN sont semblables; donc