CE" R C

On voit donc que : i' les droite» Cl , CI', CI" concourent e, un mime p&int P; â' lei points l, V , E" lont m ligne droite.

On démontrerait , de la même manière, que les points I, }", E' sont en ligne droi(c, ainsi que les points 1', I", E.

DB GÉOMÉTRIE ËLÉHEHTAIRE. 101

Bemafqttes. — I. On dit qu'une droite AB est partagée harmoniquetnent aux points C, D, lorsque les segments additif»

AC, BC sont proportionnels aux segments souslracif* AD, BD;

c^esi-&-dire lorsque l'on a

II. Les points C, D sont dits conjugués harmoniques. Il en est de même des points A, B, parce que la droite CD est partagée hormomquement en A , B.

III. En adoptant ces définitions, on conclut que les bissectrices de l'angle d'un triangle partagent harmoniquemmt le côté opposé, et que les centres de similitude de deux circonférences partagent karmoniquement la distance des centres,

IV. Plus généralement, d'après les Théorèmes IX et X : ri l'on joint les sommets d'un triangle à un point O, par les transversales AA', BB', ce, et que l'on mène ensuite ta Iransver' sale B'A'C", ks points C,

C" partagent karmoniquement la base Afi.

V. Cette remarque donne te moyen de construire, avec la règle seulement, le conjugué harmonique C" d'un point C.

TkéarètBe XTII.

Toute parallèle à l'un des rayons d'un faisceau harmonique est partagée en deux parties égales par les trois autres rayons.

Lorsque, après avoir partagé harmoniquement une droite AB par les points C, D, on joint A, B, C,D, avec un point quelconque O, les quatre droites OA, OB, OC, OD forment ce qu'on appelle un faisceau harmonique.

os THÉORËIIES BT PROBLÈHSS

Celte déânition élanl admise, meDons, par le point B, MM parallèle à OA ; Dous

aurons

Al> AC

donc

BM » DN.

Réciproque. Si, par le sommet d'un triangle, on mette tiue médiatte et la parallèle à la bâte corretpondante, ces deux droitet sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux autres cotes du triangle.

Si l'on mène, dans un faisceau harmonique, une trontvenale quelconque, elle est coupée harmoniquement par les quatre rajfon».

Ce ihéorème est évident par celui qui précède.

Deux points réciproques quelconques C, O partagent harmoniquement le diamètre AB fut les contient.

Deux points C, D, situés sur un diamètre AB, et d'un inén>e

côté par rapport au centre 0, sont dits réciproques, si lerwt-

angle de leurs distances au centre est

équivalent au carré du rayon; c'est-à-dire

lorsque l'on a

OC.OD = ÔB'.

DE GËOHËTRIB ÊLËH ENTAI RE. 103

Il est évident, d'après cette définition, que si le point C est intérieur au cercle, son conjugué D est extérieur. Cela posé, il s'agit de démontrer la proportion