AG PG

Cette proportion exprime que AP

est la bisseclrice de l'angle FAG. El

iiomme BC est perpendiculaire à AP, les quatre droites AP, AB,

AF, AG forment un Taisceau harmonique (Tb. XVI, Rem. III).

Th«*rtMe XX Ti.

Étant donné un polygone P, on peut toujours constrmre un polygone P' tel, que les sommets de l'un des polygones soient les pôles des côtés de l'autre, relativement à un cercle donné O.

Supposons, pour fixer les idées, que le polygone P soit un quadrilatère ABCD. Soient A', B', C, IX les pâles des côtés de celle figure.

Lo droite A'B', qui joint te pôle de AB au pôle de BC, est la polaire de B (Th. XXIil), cic. Donc les deux quadrilatères ABCD, A'B'C'D' jouissenl des propriétés énoncées.

Remarques. — I. En général, les polygones P, P sont diu polaires réciproques par rapport au çfrcle directeur O.

II. La théorie des polaires réciproques, due, en grande partie

DE GtOMtTRIE ÊLÉHBNTAlItE. 107

b llllustre Poncelet, dotAte le nombre des théorèmes de la G^métrie; c'est-à-dire qu'un ihéoréme de tituation (*) élant admis, la considéraiion dps polaires réciproques en donne imniëdiatement un autre, corrélatif du premier. Soit, par exemple, ce théorème très-simple ;

Les hauteurs AM, BN, CP d'un triangle ABC se coupent en un même point 1 (Liv. 1. Th. i).

Construisons la polaire réciproque de la 6gure, relaUvemcnt k

un cercle ayant pour centre le point arbitraire O; cl soient A',

B', C les pôles

deBc6(ésBC,CA,

ÂB.

Le pèle de AM est situé sur B'C, polaire de A. De plus, il est visible que les pôles de deux droites perpendiculaires entre elles sont situés sur deux rayons perpendicuUàres entre eux. Donc le pOle de AM doit aussi se trouver sur OM' perpendiculaire à OA'; donc il est eu H'.

Une construction semblable donne les pâles N*, P' des droites BN, CP. Et comme AH, BN, CP se coupent en I, les pAles de cet lignes sont situés sur une même droite, polaire de I. Conséquemment :

Thter«nie XKTIt;

Si, d'un point quelconque O, on mène des droites aux sommets d'un triangle A'B'C, et des perpendiculaires à ces droites; qu'on pn^nge chaque perpendiculaire jusqu'à ce qu'elle rencotUre te côté opposé au sommet correspondant; les points M', N', P', ainsi obtenus, sont sur une mime droite.

(') Le commandant HiiNnsBia, Proresseur k l'Éoole polylefhniquc, est parrcna à éleadn, aux propriiti* tumiriquu dti figurt», l'applicalton dn principe dea polaires r^iproques.

TVÈOMtmss ET rumiaas

Dans tout hetagone ABCDEF tntcrit «m eere/r, te$ pointi de conamrs I, G, H, dei côté» oppoêé$, tant sur ttne même droite.

Ce ihéorème, l'un des pjos féconds de la GéfHnéiiîe, est dû à Pascal (*). On le démonlre fâcilemeiit craniDe il suit : ProloDgeons les calés, de deui en deux, jugqu'i ce qu'ils se rencontrent aux points L, M, N. Nons aurons, par la propriété des droites qui se coupent hors d'un cerele :

LA.LF = LB.LC,