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(') On peut voir, dans les Nouvtttti 4nnahi de Malhémaligmi (t. XI), une inalyM! de« travaux auxquels a dounc lieu VHtxagramnu mystique ds Pascal. Quand il fit coonaltrc son ihéorèine, cel homme exlntordinaire avait k peina diigept ans!
Donc (Th. IX 9 Rem. II) les trois points 6, H, I sont sur une même droite.
Remarques (*). — I. Ce théorème n'est pas seulement applicable à un hexagone convexe, comme celui de la figure. Les côtés pourraient s'entre-croiser et les sommets se succéder sur la circonférence dans un ordre quelconque^ ce qui fournirait soixante hexagones différents (**) (dont un seul convexe) ayant les mêmes sommets. On obtiendrait ainsi soixante groupes différents de trois points situés en ligne droite. Toutefois, cela ne donnerait pas cent quatre-vingts points différents; car, par les six points de la circonférence, en les prenant deux à deux, on ne peut faire passer que quinzes droites ; chacune de ces quinzeulroites en rencontre huit aux deux sommets par lesquels elle passe ; restent donc, pour chacune, six points d'intersection , non situés sur la circonférence (***); ce qui donne quarante-cinq points en tout pour fournir les soixante groupes ci-dessus (iv).
II. On peut supposer qu'un ou plusieurs côtés de Thexagone inscrit, indéfiniment prolongés, deviennent des tangentes. De là résultent divers corollaires ou théorèmes relatifs au pentagone, au quadrilatère et au triangle inscrit. Nous allons en donner les énoncés, en observant qu'ils sont susceptibles du même genre d'extension que le Théorème de Pascal.
O Tirées da Cours de Géométrie de Vincent (â« édition).
(**) En effet, on peut supposer que le premier sommet soit A ; et alors le nombre des hexagones est celui des permutations des cinq lettres B , C , D, E, F, c'est-à-dire 120. Mais il est visible que chaque hexagone a clé compté deux fois : par exemple, ABCDEF et AFEDCB coïncident. Le nombre précédent doit donc être divisé par 3. .
(*'*) Si Ton considère les sommets C, D, E, F, les droites qui les joignent deux à deux sont an nombre de six; par conséquent, sur U côté AB, t7 y a six points d'intersection, non situés sur la circonférence.
(it) Un point étant situé sur deux droites, le nombre des points est
iiO THÉORÈMES ET PKOBLÈBIES
Dans tout pentagone inscrit ^ les points de concours de deux paires de côtés non consécutifs quelconques, et celui du cinquième côté avec la tangente au sommet opposé, sont tous trois en ligne droite.
Théorème 11X11.
Dans tout quadrilatère inscrit , les points de concours des côtés opposés, et ceux des tangentes aux sommets opposés, pris deux à deux, sont tous auatre en liane droite.
MM # %f
deux, sont tous quatre en ligne droite
VbéMTèaM XXU.
Dans tout quadrilatère inscrit, le point de concours de deux côtés opposés, et les points de concours des tangentes menées aux extrémités de l'un de ces deux côtés, avec les deux autres, sont tous trois en ligne droite.
Tké«rèBie XILILII.
Dans tout triangle inscrit, les points de concours des côtés avec les tangentes aux sommets opposés, sont sur une même droite.
Vké«rèHM ILILXIII.
Dans tout hexagone abcdef circonscrit au cercle, les diagonales, menées par les sommets opposés, se coupent en un même point.
Si Ton trace les cordes de contact AB, BG» ... elles formeront un hexagone inscrit ABCDEF. Les côtés de cet hexagone ont pour pôles les sommets correspondants de Thexagone circonscrit. Si Ton mène be, le pôle de cette droite doit se trouver sur
DE CËOHÊTAIE ÉLÉHBNTAIRE. Ut
h polaire de b et sur la polaire de e; donc il est en G. De même, les pôles des deux autres diagonales ad, ef, sont les points I , H. Donc, les points G, I, H élani sur une ligne droite, leurs polaires eoncourenl en un même point P (Th. XXIV).
Remarqta. Ce dernier Ihéorèmc,
découvert par N.BHanchon, est un
corrélatif du Théorème de Pascal
(Th. XXVI, Rem. II). Il donne lieu,
comme celui-ci, à un grand nombre de corollaires, parmi
lesquels nous énoncerons les quatre théorèmes suivants :
TMwrtw* XXXIV.
Dans tùut pentagone circonterit, te» diagonales menées par deux paires de sommets non consécutifs quelconques, et la droite qui joint le cinquième sommet au point de contact du côté opposé, concourent toutes trois en un même point.
TbéarèMa XXXT.
Danê tout qua^ilatère circonscrit, les droites menées par les points de contact des côtés opposés, et les diagonales, concourent en un même point.
Dans tout quadrilatère circonscrit, la droite menée par les sommets de detix angles opposés, et les droites qui joignent les points de contact des cotés formant l'un de ces imgles, avec les deux autres sommets, concourenf toutes trois en un même point.
THÉOIIÈHBS ET PROBLÈMES
Dans tout triangle circonscrit, les droites menées des sommets, tutx points de contact opposés, concourent en un même point.
Le lieu géométrique des points M d'égale puissance, par rapport à deux circonférences 0, 0', est une perpendiculaire MN à la ligne des centres.
On appelle putisnnce d'un point M ,par rapport èi unecîrcoiirérence 0, le rectangle constant des segments additifs ou soustractifs que forme ce point sur toute corde qui le contient. D'après cette définition, il est évident que : l" la ligne cherchée se confond avec le lieu des points d'où Ton peut mener, aux deux circonférences , des tangentes MT, MT', égales entre elles; 2* si les circonférences soni tangentes ou sécantes, le lieu géométrique dont il s'agit est la tangente commune ou la corde commune.
Considérons donc le cas où les circonférences seraient extérieures ou iniérieures.
Abaissons MP perpendiculaire ù 00', et menons MO, MO'. Nous aurons
Mï'=ÔM*— 01*, MT''=Ô1â*— ÔT'*; d'où, A cause de MT==MT', et en appelant R, R' (es deux rayons,
Or, ^
ÔM*==OpVmp', OTM^O'pVm'P*; donc
oP*— r* = ôt'-r".
DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 1tS(
Celle égalité donne
ou
