DE' R DE' "" R

Ainsi la corde GE' divise 9 dans k rapport des rayons, la tangente commune DD'. De là résulte immédiatement que te point S, oii cette corde coupe la ligne des centres f est le centre de simiHiude inverse des cercles 0, 0'.

Dans tout triangle, la circonférence des neuf points est tangente au cercle inscrit et aux cercles ex-inscrits (*).

(*) Ce premier complément da Théorème Cil est attribué au D' Hart ( Tht QuarUrly Journal, 4861, p. S45).

Diaprés la dernière remarque, la circonférence C (p. 175)» tangente aux cercles 0, 0', passe par le pied E' de la hauteur SE' du triangle TSM' formé par les tangentes DD', ST, ST'.

De plus, à cause de DT= D'T' (Liv. II, Th. XIV, Rem. II), le point M', milieu de DD', est aussi le milieu de TT'. Enfin , le rayon M'C, perpendiculaire à la tangente ÂA', est parallèle à la droite qui joindrait le point S au centre du cercle circonscrit au triangle TST' (Liv. II, Prob. XXII). La circonférence C ne diffère donc pas de la circonférence des neufpaints, relative à ce triangle; etc.

On verrait, de la même manière, que la circonférence des neuf points touche le cercle inscrit et le troisième cercle ex-inscrit.

Sait D le point où le côté BG du triangle ABC toiuAe la circonférence inscrite I ; soit E le point ou ce même côlé touclie la drconférence ex-inscrite ol^ opposée au sommet A. Si, sur DE comme diamètre , on décrit une circonférence qui coupe en F, G la tangente cotnmune conjuguée de AB, ces points F, G appartiennent à la circonférence des neuf points (p. 178).

La circonférence des neuf points, A'PB'B"MCC"NA", est tangente aux circonférences I et a; de plus, elle passe par le milieu A' de DE; donc (Th. GV, Corol.) elle contient les points G, F.

Remarques.— h La circonférence DE a pour centre le point A'.

II. Les points G, F sont symétriques des points de contact E, D, relativement à la perpendiculaire à Aa, menée par le point où Aa rencontre BC.

III. Une construction analogue à lune de celles qui viennent d'être indiquées , effectuée sur les côtés AB, AC, donnerait quatre nouveaux points, situés sur la circonférence Q.

IV. A cause des quatre points de contact avec les circonférences I, a, (3, y, il s^ensuit que la circonférence des neuf points passe, véritablement, par dix-neuf points remarquables : les théorèmes suivants augmentent indéfiniment ce nombre.

TBËORÈHES ET PROBLÈMES

Datu tout triangle ABC, la cirtonfèrenee Û det neuf pomtt touche les douze eerclei inicril» ou ex-intcrits aux trois tritmglet déterminit par deux des sommet» A, B, C et par le point de contours H des liauleurs (*).

Soit ABH l'un de ces (riaugles. Les milieux H, N, C dei côtés AH, BH, AB appartiennent b la circonférenec a; donc il

est la circonférence des neuf points, relative au triangle ABH. Mais, d'après le Théorème de Hart, cette dernière circonTérence

(*) Théorème de sir William Hamilton {T/it QuarteTtg Journal, iWi, p.S«).

touche les quatre circonférences tangentes aux côtés du même triangle; donc, etc.

Remarquée. — L Le sommet G du triangle ABC est le point de concours des hauteurs du triangle ABH.

II. Les rayons des cercles circonscrits aux triangles ABH, ABC sont égaux, chacun, au diamèu-e de la circonférence Q (Th. Cil, Rem. IV) ; donc ces cercles sont égaux entré eux. Nous avons déjà démontré cette propriété (Liv. II , Th. II).

Si deux cercles 0, 1 sont tels, qu'un triangle ABC puisse être inscrit au premier et drconscrit au second, les circonférences tangentes aux côtés du triangle A'B'C, qui a pour sommets les points où ABC touche la circonférence I, sont tangentes à un cercle fixe.

Il est d'abord facile de voir que la circonférence des neuf

points, relative au triangle A'B'C, est réciproque de la circonférence 0 , par rapport à la circonférence I.

En effet, le milieu a de la corde B'C, est le point réciproque de A (Th. XXII); donc la circonférence abc est réciproque de la circonférence 0 ; etc. En second lieu , diaprés le Théorème de Hart , la circonférence inscrite au triangle A'B'O' est tangente à la circonférence abc. De même pour les circonférences ex-inscrites. Mais la circonférence abc ne dépend que des cercles donnés ; donc, etc. (*).

(') Ce théorème, qui parait dû à M. Jonh Casby {The Quarterly Jimmal, \Wij p. SM)* * ^^^ certaine analogie avec celui de M. Mannheim , démontré ci-dessus (p. 164).

THÉORÈMES ET PROBLÈHES

^t deux cercle» 0, I «ont tel», qu'un triangle ABC puUie être mecrit aa premier et circonscrit au second, la circonférence circonscrite au triangle A''B''C", formé par les tangentes en A, B, C, au cercle 0, est tangente à un cercle fixe.

D'après le Théorème de Harl, le cercle 1 louche U circonférence abc qui passe par les milieux des c6tés du triangle ABC. Celte circonférence odca pour réciproque, relativement au cercle O, la circonférence A"B"C" (*); donc celle^i est tangente à la circonférence réciproque de I, relativement au cercle O.

Le cercle circonscrit à wn triangle ABC touche tes teise eentes inscrits ou ei)>inserits aux quatre triangles ayant pour stmmeU les centres des cercles tangents aux côtés de ABC.

Soient I, l' I" l" les centres du cercle inscril et des eercles ex-inscrits au triangle ABC. La àrconférence O, circonscrite au triangle ABC, est la circonférence des neuf points, relative au triangle l'I'i'" (Th. Cil, Bem. IV). D'après les Théorèmes de Hart et d'Hamillon, elle est tangente aux circonférences qui touchent les trois côtés de chacun des triangles H'I", II'"!', l'i"!'". C'est ce qu'il fallait démontrer.

C) Nun Iracécsur lu Rgure.

Tké«rèBie CXII.

Dans iouê triangle ABC, la circonférence Q des neuf points touche : 1® les seize cercles inscrits ou ex-inscrits aux qtMtre triangles ayant pour sommets les centres des cercles tangents aux côtés du triangle dont les sommets M, N, P sont les milieux des segments compris entre les sommets A, B, C et le point de amcours H des hauteurs; 2® trois autres groupes de seize cercles,

1"* Le point H est le centre de similitude des triangles ABG| MNP. D'après le théorème précédent, la circonférence ABC est tangente & seize cercles ; donc la circonférence MNP (ou Ç£) est tangente à seize autres cercles situés, à Tégard du triangle MNP^ comme le sont les premiers à Tégard du triangle ABC.

2^ La circonférence circonscrite au triangle ABH touche seize cercles qui se déduisent^ de ce triangle, comme ceux que nous venons d'énumérer se déduisent du triangle ABC. Mais les circonférences ABH, ABC soin égales (Th. CVIII, Rem. II); donc la seconde est tangente à seize cercles remarquables ; donc la circonférence Q, est également tangente à seize nouveaux cercles. Le même raisonnement est applicable aux triangles BCH, CAH, et aux trente-deux cercles qui en dérivent (*)•

(*) Après avoir démontré que la circonférence ^ touche soixante-quatre eercles remarquables (autres que ceux dont il vient d'être question), M. John Casey ajoute : • Il est aisé de voir, par le moyen des 64 cercles de Tar-

• liele 12, que le cercle û en touche 256 autres; et, par le moyen de ceux-ci,

• qu'il en touche i024; et ainsi de suite. » — Si Ton a égard aux toixaniedàx pointé nouveaux, résultant des Théorèmes CVII et CXI, puis à ceux que donnerait la combinaison répétée de ces théorèmes avec ceux de Hart et dUamlItOD, on voit que la série infinie des points remarquables, situés sur la circonférence û, se troure beaucoup accrue.

THÊORfcHES ET PROBLÈHE&

Tlié«r*Mc CSIII.

Soient deux trianglet ABC, A'B'C, xemblablex et tembl^lement ptacét. Si un triangle abc est inscrit au premier et circonscrit au second, l'aire de ce troisième triangle est moyenne proportiomwUe entre les aires des deux premiers (*).

Soit I le centre de similitude des deux premiers triangles. Si l'on fait voir que le quadrilatère lA'CB' est moyen proportionnel entre les triangles lA'B', lAB, le lliéorème sera démontré. Or, ce qundrilslère est équivalent au triangle lAB'; et l'on a, simultanément :

lA' IB'

lA'B' lA' lAB' IB'

lAB' "lA ' lAB ~1B

donc

lAB' lAB'

lAB' ~1AB

Par un point donné A , mener une droite qui passe au point

\e concours de deux droites BC, DE, que l'on ne peut prolonger.

Première solution. Traçons deux parallèles quelconques FG,

IF'G', qui coupent BC en G, G', et DE m F, F'. Tirons FA; et, par le point F', menons F'A' parallèle h cette droite. De même, menons GA et sa parallèle G'A' : AA' sera la droite cherchée.

(') Ce thforème, éaonoj d'une mtnUrc un peu diET^renlc, lembla dû ■ M. Hoppj, de HutI {TAe educalional Timt; 1863). Il m'a été communiqué pir M. OwELsaïuTiRg, l'un de met collègues.

En effet, les triangles AFG» AT'G'^ semblables et semblable-* ment placés, ont un centre de similitude, par lequel passent les droites BC, DE, A A\

Seconde solution. Après avoir tracé, arbitrairement, une

transversale XY ; menons , d'un point M de cette ligne, deux autres transversales MGF, MG'F', qui coupent en G , G', F, F' les droites BC, DE. Tirons ensuite les droites AG, AF; et soient N, P les intersections de ces lignes avec la transversale X Y. EnCn , menons NG', PF' :

le point A', où ces nouvelles droites se coupent, appartient à la droite cherchée (Th. XI, Réciproque).

Remarques, — 1. Cette solution a, sur la première, Tavantage d^exiger seulement l'emploi de la règle.

II. La seconde construction est, pour ainsi dire, la perspective de la première (*).

PMMèaie II.

Partager un quadrilatère ABCD, dans un rapport donné, par une droite MN, parallèle à une direction donnée EF.

Soit £ le rapport donné , de manière que

ABMN p MNCD ^ q

Prolongeons les côtés BC, AD jusqu'à leur rencontre 0. Nous pouvons remplacer la pro-

(*} La Perspective y ou Projection conique ^ peut souvent être employée comme moyen de démonstration. Voyez les Traités de Lavit, Hachette, Leroy, La Gournerie, etc.

portion précédente par celle-ci :

OAB — OMN p OMN — OCD "" q '

ou bien 9 en substituant , aux triangles OAB, OMN, OCD, les rectangles proportionnels :

OA.OB — OM.ON p OM.ON — OC.OD'^ç'

Celle proportion donne