MR — MP = AC
ÎPVbP=ÂB*-^ (ÂB*— 2ÂC»)(— )\
Si Afi «s 2AC (et seulement dans ce cas), le second membre est indépendant de MP; et
(*) Od en trouve une autre dans les NoweUe$ AninaHe$ (2« série, t. IX, p. 190j.
THiOKfeMES ET PmOBLfaUS
tfmu tout triangle ABC :
1* Les milieux A', B', C de» côté»; U» pieds A", B", C" de» hauteur» ; les milieux H, N, P de* segments compris entre les sommets et te point de rencontre H de» Aouteun, sont neuf points situés sur une mime circonférerux Q ;
2* Le centre de Q. est le milieu l de la droite qui joint le poiiU de rencontre des hauteurs au centre 0 du cercle circonscrit;
3* Le rayon de Q est la moitié du rayon du cercle drconscrit (*).
Il est d'abord visible que H est le centre de similitude directe de la circonférence ABC et de la circonférence MNP. De plus, U centre de celle-ci est le mttieu l de OH, et son rayon [M est la moitié du rayon OA.
En second lieu, si l'on mène les droites IP, IC, on forme deux triai>gles IHP, lOC', égaux enlre eux, à cause de IH = 10, HP = OG' (Liv. Il, Th. II, Rem. IV), etc.; donc PIC est un diamètre de la circonférence MNP ; cette circonférence patte par tet milieux des côtés du triangle ABC.
Ënlin, le centre I étant le milieu de OH, les obliques IC, IC" sont égales; donc la circonférence MNP patte par let pieds des hauteurt du triangle ABC.
Remarquet. — I. Le centre du cercle circonscrit, le centre det moyenne» distances, le point de concours det hauteurt, le centre de la GmcoHFÉREHGB DES HKVF POINTS, sont titués sur une même droite.
{') Le savant Tcrqtwm aUribuait ce Ibévrime k Euler (ffomvtlk* AnnQh$ de MalHémaH^uci, tome I, p. 196).
DE G&0H£TRIE ÉLiMEnTAIRE. 171
II. A cause de CP égale e( parallèle ft OC. la agure COC'P est un parallélagramtne; donc le diamètre CP de la circonférmce de» neuf poitUt, poêtant par le milieu d'un coté du triangle, ett égal et par(dtèle au rayon CO du cercle drcomcrit, tdMtutiuant au tommet opposé à ce côté.
III. D'après le théorème précédent, lorsque le point H parcourt Is circonférence ABC, le milieu P de MH décrit la circonférence Q.
IV. Le rayon du cercle circonscrit à un triattgle ABC eit ta moitié du rayon de la circonférence paasanl par les centres 1', I", 1'" des cercles ex-inscrits.
En efTtn, les sommels A, B, G sont les pieds des hauteurs du
triangle ITT" (Liv. II, TIi. 1); donc la circonférence ABC est, relativement ft ce triangle, la circonférence de» neuf point». V. Le rayon du cercle circonterit à un triangle ABC e»t la
trs TQÉORàHES ET PROBLfeHKS
mùitié du rayon de la circonférehce pauant par le centre I du cercle interit et par les centres de deux dei cercles ex-inseriti.
Dans te triangle l'I"!'", I est le poiat de concaurs des hauteurs; donc (Ltv. II, Th. Il) les circonférenres l'Il", I"H"', r"ir, ITT" sont égales. On vient de voir que le rayon de celle-ci est le double du rayon OA; donc, etc.
» Cm,
6'i deux circonférence» mobiles C , C touchent deux circonférences fixes 0, 0', aux points A, B, A', B' : 1° les cordes AV. BB't des cercles mobiles, se coupent en un point fixe P ; 3° /e lieu du point de rencontre 0 des cordes AB, A'B', appartenant aiuc cercles fixes, est l'axe radical de ces cercles (*),
1* Supposons, pour fixer les idées, que chacune des circonfé* rences C, C louche, extérieuremcni , les deux circonférences O, O'. Alors A est le centre de sïmiliiude ituierse des circonférences O, C, et A' est le cenire de similitude inverse des clrcanférenccs 0', C; donc (Th. XVI) la corde AA' passe par le centre de similitude directe des ef rcles 0, O'. Pour la même raison, la corde BB' passe en ce point : le point d'intersection P des cordes AA', BB', es! donc le centre de similitude directe des cercles fixes.
2° Soient D, E les points où les cordes AB, A'B' coupent, de nouveau, la circonférence C. On a
■qb.qd-bQB'.qe.
Mais , de même que P est le centre de similitude directe des
C) Cet éDODcé ne doit pai élre idopté stn» restrictioD : celle qu'il ecmforle résulte Ae la déuaBsIration tulvantr.
BE GÉOMÉTRIE ÉLÉMEETAIRE. 175
cercles fixes » Q est le centre de similitude des cercles mobiles. Conséquemmenty
QA qa;;
QD~QE*
Oo conclut, de ces deux égalités,
QA.QB = QA'.QB';
en sorte que les puissances du point Q , relativement aux circonférences 0, OS sont égales entre elles : le lieu du point Q est donc l'axe radical des cercles fioces.
Remarques. — I. Si une seule des circonférences mobiles touche intérieurement une seule des circonférences fixes , le théorème est en défaut : en effet, la corde A A', par exemple, passe par Tun des centres de similitude des cercles fixes , (andis que BB' passe par Tautre.
II. Supposons que, la circonférence C restant immobile, là circonférence G tende à se confondre avec Tune des tangentes communes aux cercles 0, 0'. Pendant ce mouvement, le point Q décrit un segment de Taxe radical MM'; et, à la limite, il coïncide avec Fun des points R, R', ou Taxe coupe la circonférence G'. Au même instant , le rayon RC est perpetuliculaire à la tangente commune AA'. Gette conséquence du principe de continuité équivaut à la proposition suivante, que Ton peut démontrer directement :
Vhéorèaie CIT.
Suit AA' une tangente commune à deux cercles 0, 0', et soit C une circonférence tangente à ces cercles : \^ les cordes de contact AB, A'B' se coupent en un point Rde la circonférence G' ; 2* fe point R appartient à l'axe radical des cercles 0, 0' ; 3® le rayon RG' est perpendiculaire à la tangente AA' (*)•
(*) D'après une remarque de M. Mention (Nouvellet J finales^ t. IX, p. 40IX
174 TRtORÈMES BT PROUAMES
Bemart/ue. Si l'on remplace la tangente AA' par la UngeMe DD*, conjuguée de la première, les droites RA, RA' sont remplacées elles-mêmes par les droites R'D, R'D', qui passent aussi par tes points de contact B, B'.
Mais la corde AD ti l'axe radicol MH'R sont des droites parallèles, comme perpendiculaires à 00'. De là résulte la similitude des triangles DAI, M'RI, el aussi la similiiude des triangles BDI, M'RI. Par suite, les quatre poîtUt D, B, M', R sont sur vne ci'rcon/ermce. Il en est de même des points D', B', M', R;de3poinls A, 6, R', H; et encore des points A'.B', R', M.
5otett( ; 0, C deux circonférences données; A A', DD*, deux ie leurs tangentes communes conjuguées; C, une circonférence tangente à O, C; R , R', les points où cette ligne coupe l'axe radiatt de 0,0' : la tangente DD' est l'axe radical commun de la circoi»férence C et de chacune des circonférences orthogonales à O, O'» décrites du point R ou du point R' comme centre.
Considérons, par exemple, la circonrérence dont le centre est R', et qui coupe orthogonalement les circonrérences données : son rayon p est moyen proportionnel entre R'B et R'D. Mais, d'après la remarque précédente,
les deui premiirei parties de ce lliéorème doivent être ■Itribuées i Ciucby. Du rate, renoncé est soumis, comme le précédent, h quelques reitrielloos évidentes.
DE GCOHÉTRIE ÉUHBHTAlItE. 17B
D'un autre c6(é, si nous traçons le diamètre R'GH, perpendiculaire k DD* (Th. CIV), la similitude des triangles R'GM', R'RH nous donne
R'M'.R'R^iR'G.R'II;
ou , en désignant par E l'un des points où OD' coupe la circonférence C,
R'«'.R'R=l?ii*.
Par suite,
Ainsi, la circonférence orthogonale R' patse par les poînli E, E' où Ja tangente DD' rencontre la cireonférence C; eic. CoROLLAiRB. Soient deux circonférences 0, O' et deux tangentes
communes, conjuguées, Ak.', DD' ; soit C une circonférence tangente aux deux premières et passant par le milieu M' de DD' : 1* la circonférence décrite sur DD' comme diamètre passe par les points F, F' où AA' rencontre la circonférence C; 2" /o circonférence orthogonale à 0, 0', et qui a pour centre l'extrémité R' de la corde MM' perpendiculaire à 00', passe par les points M', E' où DD' rencontre la circonférence C; Z" le diamètre M'C'G est perpendiculaire à la tangente AA'; 4' la corde GE' est perpendiculaire à la taitgente DD'.
Remarques. — I. Si la circonEérence C ne coupe pas la tangente AA', cette droite est toujours l'axe radical des circonfé-
176 TVÈOmÈMES ET PAOILÈHES
reoees C% R'. De même, BD' esl Taxe ndieal des eireoDféreiiees C'i M^ CoDséqaeouDeot , là corde KK', oommune aui cireonfé* reoees R% M', passe par le point de cooeours des uuigenies DIX, A A'. El comme cette corde commune est peqiendicolaîre k MM'» elle se confond avee la droite 00\ La même propriété subsiste pour les circonférences R, R', considérées ci-dessus*
II. Le point B est le centre de similitude inverse des cercles
0, C; donc
