TRENTE-QUATRIÈME LEÇON

SUITE : MISE EN ÉQUATION DES PHÉNOMÈNES DE CONVENTION CALO- RIFIQUE PAR LES fluides; PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS UN SOLIDE DÉFORMÉ OU VÏRRANT.

254. Équation indéfinie, aux dérivées partielles, de la température dans un fluide en mouvement. — Nous pouvons maintenani former l'équalion indéfinie, aux dérivées partielles, de la température 6, pour un fluide en mouvement et à Télal élastique (étal où il se trouvera presque toujours, à très peu près).

Alors les deux variables p, 0, densité et température, fonctions continues de :r, i', ^, t comme les composantes w, r, iv de la vitesse visible^ définissent en chaque point (^, y^ z) Télat physique; et les formules (i), (a) (p. 149 et 1 53) donnent, pour une particule quelconque M = pw, la relation

Or, d'une part, Ténergie U de l'unité de masse et la pression p y sont deux certaines fonctions, censées données, de p et de 0 : d'autre part, à raison de l'invariabilité de la masse pcr, dw admet

l'expression — m^dt; et M est pw.

En outre, d'après les formules (iio) et (4i) du Tome I (p. 169 et I 20), dQ a la valeur

où K est encore une fonction donnée de p et de 8.

ÉQUATIONS RÉGISSANT LA TEMPÉRATURE, DANS LN FLUIDE EN HOUVEM. l55

En remplaçant enfin rfU par

où 6' désignera la dérivée en t de là lempérature 0 de la particule, de même que p' désigne la dérivée analogue de sa densité, on aura, après division finale par xs dty

U,/>, K étant, pour une masse fluide de nature donnée, des fonctions censées connues de p et de 6, cette équation détermine, en tous les points intérieurs de la masse, la dérivée Ô', par rapport au temps, de la température des diverses parties, en fonction de Tétat actuel et de la dérivée analogue p' de la densité. Or, comme celle-ci est définie en fonction de Tétat actuel, de même que les accélérations u\ v\ (v', suivant les axes, du mouvemenl visible^ ou dérivées en t des trois vitesses //, r, vv des particules, par les équations usuelles de FHjdrodjnamique, le changement élémentaire de la température 6 dans chaque particule fluide intérieure se trouvé ainsi déterminé. Donc la formule (3) constituera, pour la masse fluide, Téquation aux dérivées partielles de la température; et, en la joignant aux équations classiques d'Euler, ou équations habituelles en w', r', iv\ o' de THjdrodjnamique, on aura un système complet aux dérivées partielles pour calculer, dans la masse fluide, les valeurs successives des cinq fonctions //, r, «', p, 6 de x^y^ z, t définissant le mouvement visible et Téta! physique.

Il va presque sans dire que la dérivée 6', prise en suivant la particule M animée des vitesses m, c, (v, sera une dérivée complèle^

analogue à u\ v' ^ tv', p', et non une dérivée, ^> prise sur place ou

sans que x, y^ z varient. Il faudra, pour Tobtenir, faire croître simultanément /, x^y^ z de dt^ udt^ v dt ^ ivdt; de sorte qu'on aura

., e/e rfe d^ rfe

at dx dy dz