Conditions définies adjointes. — A ce système de cinq

l56 ÉQUATIONS, TANT INDÉFINIES QUE DÉFINIES, RÉGISSANT A LA FOIS,

équalions indéfinies aux dérivées partielles, il faudra joindre les conditions définies ordinaires, spéciales aux surfaces limites, savoir :

i" La connaissance de Téquation de la surface, quand celle-ci sera constituée par une paroi ou fixe, ou animée d'un mouvement donné;

2" L'égalité de la pression p à une constante connue, finie ou nulle, sur les surfaces liquides limitées soit par une atmosphère, soit par l'espace vide;

H" La persistance, sur les surfaces limites, de la couche fluide superficielle, en ce sens que toute particule de la couche superficielle ne cesse pas, à des infiniment petits près du second ordre, de vérifier l'équation de la surface, quand on suit celte particule durant un instant dt^ ou qu'on fait croître t de dt et les coordonnées x^ y^ z de u dt, v dt^ wdt\

4" L'égalité des températures et des flux de chaleur, sur les deux faces de la couche mixte séparant une paroi et un fluide athermane qui y glisse, ou deux pareils fluides contigus;

5° Enfin l'égalité du flux, sortant par une surface libre, à une fonction linéaire donnée de la température 0, quand celte surface libre est celle d'un solide ou d'un liquide y?xe (non volatil), en contact avec l'éther seul ; et, au contraire, l'égalité du flux sortant à une pareille fonction linéaire de 8 (exprimant la chaleur rayonnante ou cédée à l'éther), accrue du flux entrant dans le gaz contigu, quand la surface libre dont il s'agit est celle d'un solide ou d'un liquide limités par une atmosphère, à laquelle ils communiquent d/ailleurs leur température 8.

Cette cinquième condition sera la seule, de tout notre système d'équations, où il soit tenu compte des actions propres de l'éther, c'est-à-dire des changements de chaleur condensée en chaleur rayonnante, ou vice versa. Autrement dit, nos fluides, y compris même les gaz, seront supposés n'émettre ni n'absorber la chaleur rayonnante, en quantité sensible, dans leurs particules intérieures. Cette hypothèse paraît être bien suffisamment approchée à une première approximation.

Telles seront les équations à intégrer, quand l'état du système étudié sera permanent, ou que p, 8, «, v, w dépendront Aex^y^ z^ mais non de t. Dans le cas général d'un état non permanent^

DANS L£S FLUIDES» LE MOUVEME.NT VISIBLE ET LA TEMPÉBATURE. l5y

on devra se donner de plus, en x, y, -5, les valeurs dites initiales de p, 9, M, r, iv, à une époque particulière to du phénomène.

2o6. Importantes simpliâcations, dans les phénomènes fréquents où la conservation des volumes fluides est admissible. — En dehors des deux hjpolhèses, familières aux physiciens, d'une température 6 uniforme se conservant {isothermie) et d'une conduclibililé K négligeable {adiabatie), la complication d'un tel sjslème d'équations serait désespérante, si la densité p éprouvait des variations comparables à sa valeur. Mais, dans la plupart des phénomènes, les vitesses u^ <^, sv changent largement la forme des particules, sans que le volume nr et, par suite, la densité p éprouvent d'appréciables modilicalions. Même, par exemple, chez les gaz^ circulant entre des corps modérément chauds ou froids, la pression, la température absolue, la densité p varient de minimes fractions de leurs valeurs totales.

Dès lors, dans l'équation en p' (dite de continuité)^ qui a la forme

.., p' du d\> dw

p dx dy dz

le premier terme n'est, en général, presque rien à côté des autres; et l'on n'altère que très peu l'équation, c'est-à-dire les rapports de grandeur de ces autres termes, en le supprimant. La relation (5), ainsi devenue

du dv dw <6) __ u - -H- __-- ^ o,

dx dy dz

exprime alors la conservation des volumes fluides.

L'extrême petitesse de la dérivée p' ne permettra cependant pas toujours de réduire au terme en 6' le premier membre de l'équation (3); et, cela, à raison des fortes valeurs que pourra y prendre

le facteur-^» Mais une autre circonstance simplificatrice, d'ailleurs distincte de celle de conservation des volumes fluides, se présentera dans les phénomènes que nous étudierons, pour débarrasser également de la variable p l'équation (3). Les courants liquides ou gazeux, à température variable, que nous aurons à considérer^ appartiendront toujours à une masse fluide assez éten-

l5S FOaVES DIVERSES DE l'ÉQUATIOX INDÉFINIE DES TEMPÉRATURES

due, et à limites assez extensibles, pour que les pressions y varient incomparablement moins qu'elles ne feraient si, par exemple, chaque particule devait, malgré son écha uffem en t, garder en toute rigueur son volume primitif.

Autrement dit, les petits changements de p se feront, avec une erreur relative négligeable, comme si la fonction p de p et de Ô avait et gardait, dans tout le fluide à considérer, une valeur constante, savoir, par exemple, une moyenne de ses valeurs vraies. Donc p sera très sensiblement la fonction de H définie par Téqualion /? = celte constante; et p' en égalera la dérivée multipliée par 0'. Posons alors, dans (5),

C désignant ce qu'on appelle le calorique spécifique de V unité de volume à pression constante ; et, après substitution à p, dans C et K, de son expression en 9 ainsi définie, l'équation ÇS) de\iendra

Comme C etK seront uniquement fonctions de la température 0, cette relation (8) aurait exactement la forme de Téquation indéfinie ordinaire des températures dans un solide athermane, homogène et isotrope, en repos apparent, si la dérivée 8' n'y recevait pas l'expression polynôme (4), où figurent les vitesses w, ^, w

du mouvement visible, et se réduisait à la dérivée sur place -j--

11 suffira, d'ailleurs, que la température 0 varie entre des limites modérément écartées, pour que C, K soient sensiblement constants; et Ton aura alors l'équation que nous utiliserons, analogue à celle de Fourier pour les solides,

257. Accord de ces équations avec celle de Fourier pour les fluides athermanes. — Dans les équations (8) et (9), le terme que fournit le travail mécanique rfÇ, converti en chaleur, se trouve représenté par la petite partie de G où figure la pression p : \\ ne

DANS LES PLLIDKS EN MOUYEMENT. l59

change donc pas la forme de TéquatioD, vu surtout que la valeur de C sera donnée, en bloc^ par l'expérience.

Ainsi, la Thermodynamique n'était pas nécessaire pour établir ces équations : l'ancienne hypothèse du fluide calorique y suffisait. De fait, c'est Poisson qui les a obtenues (*).

Fourier avait trouvé antérieurement, dans un Travail posthume Sur le mouvement de la chaleur dans les fluides, inséré en i833 (trois ans après la mort de son auteur) au tome XII des Mémoires de V Académie des Sciences de Paris, une équation plus compliquée, en considérant un élément fixe rs de l'espace où se meut le fluide et en égalant l'accroissement élémentaire de la chaleur, que j'appellerai ^73, du fluide contenu à l'époque t dans cet espace, à la somme algébrique de la chaleur qu'y apporte le fluide entrant et de celle qui y pénètre par conductibilité. 11 prend celle-ci, comme dans les solides, de la forme (KAaO)^^/; car il suppose constant le coefficient K de conductibilité. Quant à la précédente, elle s'évalue exactement comme le fait, dans l'équation ordinaire de continuité des fluides, l'excédent de la quantité de matière entrée dans un espace donné m, en vertu des vitesses w, p, (v, sur la quantité de matière sortie : elle a donc pour expression, si l'on substitue à la quantité de matière par unité de volume, ou densité p, la quantité analogue y de chaleur,

\ dx dy ^^ dz j

El, l'accroissement total de la quantité ycr de chaleur dans l'espace

fixe ni étant -^ m dt^ il vient la relation

d^ ,,. A d.ny d.v^ d.iv^

"**^ Tt='^^'^^-dr—dp ~dT-'

Fourier admet implicitement, sans doute par une analogie instinctive avec le cas des solides qui lui était familier, l'expression Cô pour la quantité y de chaleur de Tunité de volume, avec G indépendant delà densité p, qu'il supposait cependant variable.

(') Voir, par exemple, la formule (lo) de sa Théorie mathématique de la chaleur (p. 93).

l6o ÉQUAT. DB FOURIER RECTIFIÉE, POUR LA TEMPÉR. DES FLUIDES EN MOUY.

D'après cette hypothèse, l'unité de volume d'un fluide à une température donnée ne posséderait pas plus de chaleur sous forte densité que sous faible densité. Faisant donc y = C6, avec C constant, il ne donne la relation (lo) que sous la forme

dt

car celle-ci est, aux notations près, l'équation (3) de son Mémoire.

Dans les applications que nous ferons de la formule (9), la condition (6) de conservation des volumes fluidos sera vériûée; et Ton voit qu'elle rend bien cette équation de Fourier identique à (9), où 6' a l'expression (4).

Mais si la densité p devait varier, il faudrait éviter de prendre C constant, c'est-à-dire de supposer la chaleur y de l'unité de volume indépendante de la densité p et proportionnelle à la température 6; car, dans les gaz, seuls fluides où la densité varie beaucoup, c'est plutôt la chaleur par unité de masse qui est simplement proportionnelle à la température.

Or, appelons y» cette chaleur par unité de masse, ou posons, dans (10),

(en continuant d'ailleurs à raisonner, avec Fourier, dans l'hypothèse du fluide calorique); et la substitution de pyi à y changera aisément l'équation (10) en celle-ci :

qui, par transposition au premier membre, des deux derniers termes triples, devient elle-même, vu les expressions connues des dérivées complètes de fonctions comme p et y, par rapport au temps,

, f , /du ds? dwW

La relation de continuité (5) annulant dans celle-ci le terme en y,, on a donc, comme équation de Fourier rectifiée et ré-

LOIS DBS TEMPÉRATURES, DANS LES SOLIDES QUI SE DÉFORMENT. l6l

duile à son expression la plus simple,

{10 bis) PY; = KAîe.

Or il suffit d'y prendre y» de la forme cO, puis de faire pc = C, pour obtenir réquation (9) de Poisson.

258. Équation indéânie des températures, dans un solide élastique déformé ou vibrant. — Avant de passer aux applications les plus simples des équations précédentes, jetons un coup d'œil sur le cas d'un solide déformé élastiquement, c'est-à-dire ayant ses particules écartées de leur état naturel par les petites déformations D, g (p. 146)7 qui, dans l'état de mouvement du solide, seront six fonctions du temps t et des coordonnées x^y, z. Nous nous bornerons ici (*), comme il a été dit (p. i46), à l'hypothèse de températures absolues assez basses ou, plutôt, assez éloignées de la température de fusion du corps, pour que l'énergie interne U de Punité de masse soit la somme <^ H- *F de deux fonctions distinctes, dépendant seulement, l'une, ^, des déformations D, g, et l'autre, W^ de la température 0.

L'expérience montre que, dans un solide éloigné de son point de fusion, pris d'ailleurs à une température initiale uniforme et entouré de corps ou d'éther à cette température, les déformations élastiques soit lentes, soit même rapides ou corrélatives à des vibrations sonores, n'entraînent pas, comme dans les gaz, d'appréciables échauffements ou refroidissements, et que, par suite, elles ne provoquent pas des flux calorifiques sensibles à travers les éléments plans du corps. C'est dire que la production de petites valeurs quelconques des D, g, à une température initiale 0 constante, laisse négligeable, dans l'équation fondamentale (1) (p. i49)> le terme, rfQ, exprimant la chaleur gagnée par une particule sur ses voisines. Or, alors, vu la. constance de 0, la difTérentielle rfU n'est autre que sa première partie rf4>, et l'équation (1) devient

^il.

(' ) C'est-à-dire dans le texte, non dans la grande note ci-aprés, où ]a question sera poussée plus loin.

B. -II. Il

l62 ÉQUATION INDÉFINIE DBS TEMPÉRATURES, DANS UN SOLIDE ÉLASTIQUE

L'expérience monlre encore qu'à l'inverse, dans noire solide éloigné de son point de fusion, tout échauflement 6 modéré a ses effets mécaniques extrêmement réduits, ou ne produit que des dilatations à peine observables; de sorte qu'un même état naturel peut, au point de vue du volume et de la configuration visible, êlre censé convenir, avec une certaine approximation, à toutes les températures 6 dont il s'agit. On comptera donc les déformations élastiques «), g à partir de cet état naturel commun : ce qui, si un changement de température survient, dispensera de considérer les menues déformations propres qu'il amène, ou d'ajouter aux D, ^ définis plus haut (p. i45), pour avoir les déformations totales d'une particule à partir d'un premier état, de petites parties, fonctions de 6, correspondant au changement de l'état naturel entre les deux températures primitive et actuelle.

Alors, même à température 6 variable, le travail rfG produit, dans la déformation élémentaire visible de la particule, par les pressions qu'elle supporte, s'annuleraitv si les six différentielles d^o", • • «1 d^z restaient nulles, puisqu'il n'y aurait pas de déformation, au degré d'approximation convenu. Ainsi, rfG ne contient pas de terine en rf6. De plus, chacune des six différentielles d^xi • • • 1 d^z n'entraînant que d'infiniment petites variations des pressions exercées sur la surface, le travail dÏD total sera encore la somme des travaux auxquels donneraient lieu, séparément, les déplacements dus à chacune des déformations d^y c/g, supposées s'effectuer l'une après l'autre. Et il ne dépendra pas davantage de la variation rfÔ de température, encore moins influente que celle des D, ^ sur les pressions, d'après l'hypothèse qui annihile son effet sur la configuration visible d'état naturel. Donc, soit que la température 6 reste constante, soit quelle varie, le travail élémentaire d^, pour chaque particule, égale sensiblement la différentielle totale exacte de la fonction M4> des D, 3, énergie potentielle d'élasticité de la particule.

Dès lors, faisant maintenant varier 0 d'une manière quelconque, remplaçons, dans l'équation (1) (p. i49)j d^ par Mrf0; et, vu la forme admise 0 + ^'^ de U, il viendra

Or, la chaleur^ ^\^)i ^^ l'unité de masse de la particule, a

QUI SE DÉFORME d'uNE MANIÈRE CONTINUE. l63

comme différentielle le produit de la capacité calorifique^ ^'(^)> de cette unité de masse, par la différentielle ^'dt de sa température 0. Et nous savons, d'autre part, que la somme, rfQ, des flux de chaleur entrés dans le volume tît de la particule, durant le même instant rf/, a pour expression

dFy dFA .,

où Fa?, F^., F^ sont (p. i46) les fonctions linéaires, étudiées dans

notre premier Volume (p. iï5 à i35), des pentes ^^ ^ de

la température suivant les sens rectangulaires des j?, yj z. En remplaçant de plus M par pru, et p^'"(0), capacité calorifique de Funité de volume, par C, il vient l'équation

Cela posé, les déplacements, que nous appellerons Ç, tj, Î^, éprouvés suivant les trois axes, à partir d'un état ou primitifs ou moyen^ par la particule solide vibrante qui avait, dans cet état, certaines coordonnées a:o,jKoî ^o> seront toujours fort petits; et ils pourront d'ailleurs être regardés, pour cette particule, comme des fonctions de t seul^ mais, pour V ensemble des particules, comme des fonctions des quatre variables indépendantes ^, x^^ j^oj ^0- Il sera donc possible de concevoir effectué un changement de variables substituant iCo> JKo? -^o, t à x^y^ z, t : car on a, entre ces variables, les quatre équations

x = a;o-^i, y=yQ-^ri, -5 = -5o-+-Ç, t ^ t\

OÙ, pour éviter toute confusion, le temps est appelé t' quand il se trouve associé à Xo,yQj Zq] et, en vertu de ces équations, où l'on peut imaginer Ç, r,, Ç remplacés par leurs valeurs en XQ,yQ, Zq, t\ toute fonction de Xj y^ s, ty comme 0, devient fonction de

Or, vu la petitesse constante de $,7), tj, les formules symboliques pour transformer les dérivées prises dans l'espace, c'està-dire sans faire varier le temps, différeront fort peu de

5i ~~ dxa ' dy ~~ dy^, ' dz ~~ dzo '

i64 l'agitation calorifique et le houyement visible, dans un solide,

et j:, y, z dîfTéreront aussi fort peu de ^oi JKo? ^o- Donc le second membre de (i3) aura très sensiblement, une fois exprimé en Xq, ^o> -30, la même forme qu'en x^y^ z.

Mais alors, au premier membre, la dérivée 6', qui est justement prise, entre les deux époques t^ t-\- dt^ pour la même particule,

ou sans que x^^y^^ z^ varient, devient -rp»

Et, si Ton convient d'effacer les indices o des coordonnées, avec l'accent de t\ tout en rapportant effectivement les particules à leurs coordonnées ou primitives, ou moyennes, et non actuelles, l'équation (i3) sera enGn

Bref, l'équation indéfinie des températures, dans un solide déformé ou vibrant, est très sensiblement la même que si ses particules restaient immobiles dans leurs situations ou primitives d^équilibre, ou moyennes,

259. Indépendance mutuelle approchée du mouvement visible et de l'agitation calorifique, dans un solide. — Il en sera évidemment de même de l'expression des flux calorifiques relatifs aux surfaces ou limites, ou séparatives, et, par suite, des conditions définies spéciales à ces surfaces; de sorte que la température 0 variera et la chaleur se propagera, dans le solide, comme si le mouvement visible de déformation ou de vibration n'existait pas.

Le mouvement visible lui-même, au degré d'approximation supposé par nos formules, se fera comme si les variations modérées 0 qu'éprouve la température n'existaient pas davantage. En effet, de ce fait que le travail de déformation rfG des pressions exercées sur chaque particule est, pour toutes les variations élémentaires possibles des ^, 9, la différentielle de la fonction M^ et se trouve, par suite, indépendant de la température 6, l'on peut conclure que les pressions n'en dépendent pas ( * ). Or ce sont elles

(') Pour le prouver, observons que ces pressions, en chaque point du solide, sont fonctions, comme on a vu dans une note précédente (p. i5o), de six d'entre elles, N^, N^, N,, T,, T^, T^; et que l'expression de dïh est (p. iSa), par unités de

SONT, A TRÈS PEU PRÈS, MUTUELLEMENT INDÉPENDANTS. l65

qui produisent le mouvement visible des particules; et celui-ci doit bien se faire comme si l'on avait 0 == o.

Ainsi* les trois hypothèses, prises pour point de départ, de la conservation de la température initiale (quand on la suppose uniforme), dans un solide vibrant élastiquement au sein d'un milieu à cette même température, de la conservation analogue, par une particule modérément chauffée, de sa configuration visible, enfin du dédoublement de l'énergie interne U en deux parties dépendant, Fune, des déformations visibles 2), ^ seules, l'autre, de la température 6 seule, impliquent V indépendance mutuelle du mouvement visible et de Vagitation calorifique.

volume et de temps,

Les neuf dérivées -7^ — ^— ^ — : cardent à très peu près, comme on vient de le

remarquer, la môme forme, quand x, y, z y sont les coordonnées primitives ou moyennes, et non pas les coordonnées actuelles. Or, alors, les vitesses m, v, w

deviennent les dérivées partielles — iziJ'l-Li ; et l'expression (e), multipliée

par dt^ donne, comme travail c?5 par unité de volume,

' dx y dy • dz

Mais on démontre, dans la théorie générale des petites déformations dues à des déplacements donnés Ç, r,, !^, théorie faisant partie de celle de l'Élasticité, que les petites déformations élémentaires c)^, <)^, c)., ^,, ^ , 0^ subies par une particule à partir de son état naturel, soit actuel^ soit môme primitif, ont, pour leurs dilTérentiellcs d'un instant à l'autre, précisément les expressions

dx^ dy^ ' \dy dx]^

car ces déformations elles-mômes (comptées à partir de l'état naturel dont il s'agit) égalent très sensiblement, pour chaque particule, leurs petites valeurs constantes dans l'état particulier à partir duquel se comptent les petits déplacements Ç, tj, ÎJ, accrues respectivement des six termes variables, simples ou

doubles, ^> ^' *"' (;7^ "^ w^)' ^*» d'autre part, les six composantes de pression N^, ..., T,, exercées, suivant les trois axes, sur l'unité d'aire actuelle des éléments plans actuellement normaux aux x^y^Zy ne diffèrent pas sensiblement des pressions analogues, décomposées suivant les trois éléments matériels recti-

l66 ESSAI SUR LES DILATATIONS THERMIQUES ET SUR LES AUTRES

On pourrait, il est vrai, se dispenser de joindre la troisième hypothèse aux deux premières. Car celles-ci donnent (p. i6i et 162), pour l'expression dV formée à température 6 constante ^

une valeur -r|-> où 6 ne figure pas et qui est dès lors la difTéren-

tielle totale exacte d'une certaine fonction ^ des déformations d, ^ seules; d'où il suit hien que là différence U — 4> a sa différentielle en D, 0 nulle quel que soit 0 et se réduit à une simple fonction W de 0, ou que la troisième hypothèse, U = 4> + W, résulte des deux premières. Toutefois, il convenait de la formuler et même de la signaler spécialement; car elle paraît subsister, du moins convenablement entendue, à un degré d'approximation plus élevé que les deux premières, comme on verra (p. 171) vers la fin de la Note par laquelle je vais compléter le présent aperçu (').

lignes ds^, ds^, ds. de la particule, que supporte l'unité d'aire primitive des trois éléments plans, matériels aussi, contenant chacun deux de ces éléments rectilignes^ composantes qui sont évidemment, dans le cas le plus général, des fonctions déterminées des <), ^ et de 6.

Enfin, M d^ s'écrit encore pcj rf*, ou c?(p4>)a, produit où la densité actuelle p est censée remplacée par la densité invariable^ très peu différente, de la particule à l'état naturel et à température 0 nulle.

Cela donne, pour l'unité du volume actuel cj, une variation ûf.p^», d'énergie élastique, où p<I> est, ici, fonction seulement des D, ^; et, de son égalité à (e'), telle qu'elle est établie dans le texte, il résulte

c'est-à-dire, vu l'indépendance mutuelle des différentielles db^, rf<) , ..., d^^y

On voit bien que les pressions N, T de la particule, dérivées partielles premières, relatives aux déformations correspondantes <), 9, du potentiel d*e1asticité p4> supposé ici indépendant de la température, n'en dépendent pas davantage.

(>) Petites dilatations thermiques d'un solide; son potentiel d'élasticité et son énergie interne à une deuxième approximation. — Cette première approximation du texte est évidemment une simple synthèse, sans pénétration réciproque, de la théorie de l'élasticité, telle qu'on l'a considérée en général jusqu'ici, et de la théorie analytique de la chaleur, réduite à Tordre de phénomènes que Fourier soumettait à son analyse. Et elle s'applique dans la limite des variations soit de forme, soit de température, que supposent les expé-