ÉQUATIONS DES PHÉNOMÈNES

dilatation cubique thermique du fluide (o,oo366 pour les gaz), l'unité de volume primitif du fluide aura été multipliée, à raison de l'élévation 6 de température, par le binôme i -haô. Et le poids p^ de l'unité de volume aura été divisé par i -\- aô, ou aura décru sensiblement de pg'aO, comme s'il s'était adjoint, au poids primitif ou normal de l'unité de volume, la petite force antagoniste, c'est-à-dire ascensionnelle , p^aO. J'appellerai y la valeur de cette force par unité de masse et d'échauflement. En d'autres termes, je poserai

et le produit yO exprimera une sorte de pesanteur supplémentaire, proportionnelle à l'échaufl^ement 6, mais dirigée de bas en haut.

262. Mise en équation de ces problèmes. — Cela posé, choisissons un axe des z vertical, dirigé vers le haut comme la force variable yO; associons-lui deux axes horizontaux rectangulaires des x^ y et, enfin, imaginons que l'on défalque de la pression intégrale/? sa valeur hydrostatique, réalisée aux grandes distances du corps, en appelant P l'excédent ainsi obtenu, c'est-à-dire la partie non hydrostatique de la pression. La condition de continuité et les trois équations classiques d'Euler, après suppression du terme ordinaire de pesanteur détruit par la pression hydrostatique, seront

du dv div

dx^^ dy dz '

\ d? , i dP , i dP ^

^ dx ' p dy p dz ^

u\ i^', iv' y désignant, suivant l'usage, les trois composantes de l'accélération du mouvement visible. Quant à l'équation aux dérivées partielles des températures 6, ce sera, d'après (9) (p. i58),

Voilà les cinq équations indéfinies du problème, en m, ç, wp, P, 8.

Exprimons maintenant les particularités que présenteront les vitesses w, ^, iv et la température 6, à la surface du solide fixe chaufi^é. Si X, [x, v désignent les trois cosinus directeurs de la nor-

DE CONVECTION CALORIFIQUE. 176

maie menée en (oc, y, z) à cette surface, vers r intérieur du corps, et que, par exemple, cette surface soit portée à des températures connues a^^ dont nous appellerons a la moyenne, la composante normale "k u -i- \n> -{- y w de la vitesse du fluide y sera évidemment nulle, et sa température 9 ne pourra pas (t. I, p. 178) y diflerer sensiblement de ai. On aura donc les deux relations définies

(17) (à la surface du corps) .

De plus, sur une sphère de grand rayon décrite autour du corps, d'une part, la pression dynamique P du fluide et son échaufl*ement 0 seront insensibles, d'autre part, les vitesses w, v, (V se réduiront aux trois composantes constantes de la vitesse générale et connue, v, emportant la masse fluide. Nous appellerons /, m, /i, quand cette vitesse ne sera pas nulle, ses trois cosinus directeurs donnés; et nous aurons ainsi, comme conditions relatives aux points infîniment éloignés de l'origine, d'abord, dans tous les cas,

(18) (à l'infini) (P, 0)=o,

et, de plus,

( (UfV,(v) = osi Tensemble du fluide est en repos,

(19) (à l'infini) . A '^

{ (a, p, w) = {/v, mv, /iv) s il y a un courant général.

Supposons enfin, pour rendre nos problèmes plus accessibles, que l'on renouvelle sans cesse la provision de chaleur du corps, au point de maintenir invariables les températures aà de sa surface. Nous savons qu'alors le phénomène se réglera plus ou moins vite par voie de permanence, et que w, p, iv, P, 0 ne dépendront plus de ty mais seulement de a:, ^, z, dans tout l'espace, environnant le corps, où ces fonctions ont des valeurs sensibles. Les expressions des dérivées complètes a', i^', w', 8', débarrassées des dérivées partielles correspondantes prises sur place, deviennent simplement

^ ' ^ ' ' ' ^ dx dy dz