ET ÉQUATIONS DBS PHÉNOMÈNES THERMOMÉCANIQUES, DANS LES SOLIDES. I7I

OU iDdiquées pour ces mouvements, dans la première partie de la présente Leçon, comportent une application intéressante aux phénomènes de convection calorifique (t. I, p. 174^ ^^ t. II, p. 74)* c'est-à-dire à l'étude de la chaleur que charrient des courants fluides quelconques, mais surtout ceux que fait naître, dans une masse fluide, indéfinie, par exemple, et à une température générale donnée, prise pour zéro du thermomètre, un solide fixe immergé, porté, aux divers points de sa surface, à une certaine température en excès a, ou à des température inégales et données.

loul en gardant les formules linéaires des N, T en D, 0 et 6, poser To= 0. Alors

le second membre de (/'), devenu *'— 8 -j^ -H ^, se réduit immédiatement, vu

la relation (i), à <I>-hW; et l'énergie interne U garde sa formule de première approximation, où les variables D, ^ (mais comptées ici à partir de Fétat naturel primitif ou correspondant à la température 0 = 0) sont séparées de la variable 6. L'équation indéfinie en 0, qui se déduit de (1) en raisonnant comme dans le texte (p. 162 et i63), est dès lors

dt dx dy dz \ "" di ^ dt * dt J

La mise en compte du mouvement visible y ajoute le dernier terme, sextuple, où les dérivées en t des î), ^ seront, très sensiblement, des fonctions àtx^y. 5, / qu^aura fait connaître la première approximation.

Une deuxième approximation du calcul de 0 reviendrait donc à supposer le corps en repos, ou non déformé, mais à lui attribuer des sources intérieures de chaleur dont le débit donné serait, par unité de volume,

/ c?D d^^ d^ c?ii, dd^ d.}\ ^

On remarquera que ce terme, le dernier de (y"*), où 6 se trouve multiplié par on facteur de Tordre des dérivées en t des D, 0, n'est pas linéaire et doit pouvoir être presque toujours négligé.

Toutes les équations ci-dessus ont, dans le cas particulier d'une contexture isotrope à l'état naturel (et de l'hypothèse ancienne X = jx), la forme de celles que Duhamel avait obtenues, vers i835, en essayant, notamment, d'appliquer aux solides la distinction des deux caloriques spéciûques à volume constant et à pression constante, bien connue dés lors pour les gaz, et qui avait permis à Laplace de mettre la formule de Newton sur la vitesse du son d'accord avec l'expérience : on peut voir, à ce sujet, les deux Mémoires de Duhamel, Sur le calcul des actions moléculaires développées par les changements de température dans les corps solides ( Recueil des Savants étrangers, de l'Académie des Sciences de Paris, t. V) et Sur les phénomènes thermodynamiques {Journal de l'École Polytechnique, XXV Cahier).

.17^ VISE EN ÉQUATION DES PllOBLÈMES

Si la masse fluide est en repos aux grandes distances du corps, là où s'apaisent et disparaissent les courants locaux dont il s'agit, mis en mouvement par des excès ô de température gagnés au contact ou au voisinage du solide, l'on a le cas de convection le plus familier aux physiciens; car il est facile à produire et à observer dans des conditions bien définies. Dulong et Petit, vers 1820, l'ont soigneusement étudié, et plusieurs physiciens ont contrôlé, depuis, les importants résultats qu'ils avaient obtenus. Toutefois, un autre cas est plus simple, car le mouvement du fluide s'y trouve presque donné : c'est celui d'un solide chaud, immergé au sein d'un courant dont la vitesse générale, modifiée seulement autour du corps, est suffisante pour que, même près du corps, l'échauffement dû à celui-ci ne l'altère pas sensiblement.

Les questions dont il s'agit sont, au point de vue analytique, d'une nature si abstruse, que nous devrons nous borner à ces deux cas extrêmes, paraissant les moins complexes. Entre eux se placerait le. cas, beaucoup plus difficile à aborder, d'un courant dont la vitesse est seulement comparable à celles qu'y font naître les inégalités de la température entre diverses parties de la masse fluide.

261. Manière dont y vaxie le poids de l'unité de volume fluide.

— Pour obtenir, sous la forme la plus réduite possible, les équations de ces problèmes, il faut observer d'abord que, sans Iti pesanteur, les petites dilatations ou contractions thermiques du fluide altéreraient à peine son équilibre ou son mouvement; car elles n'entraîneraient, à l'état d'équilibre (par exemple), pour se produire autour du corps et rétablir l'égalité hydrostatique de pression, que d'insignifiants déplacements. Mais les petites difi^érences de poids, par unité de volume, que produisent des inégalités modérées de la température sur un même plan horizontal, entraînent, au contraire, des déplacements verticaux très sensibles, les molécules chauffées ne retrouvant qu'assez haut au-dessus d'elles des molécules froides de densité pareille à la leur et avec lesquelles elles puissent se mettre à peu près en équilibre. D'où il suit que la diminution, négligeable en elle-même, de la densité p de toute particule devenue plus chaude, produit une réduction de poids dont il faut tenir compte.

DE CONVECTION CALORIFIQUE. 178

Mais vo}'ODS comment évaluer cette réduction de poids, due uniquement à la minime diminution de la densité.

Imaginons d'abord assez lents nos mouvements de convection, pour que les équations de l'Hydrostatique y soient presque vérifiées à tout instant : la pression p j aura partout, sensiblement, sur chaque plan horizontal, sa valeur invariable des régions en repos un peu éloignées du corps, valeur qui, dans notre atmosphère, par exemple, décroît seulement de sa -j^ partie environ pour i" d'élévation du niveau. Et chaque particule fluide, même voisine du corps, en changeant peu à peu de niveau, ne changerait de pression que dans cette proportion minime. En réalité, il n'en sera pas tout à fait ainsi, vu la rapidité modérée des mouve- DQents que nous aurons à considérer eflectivement. Mais on peut toutefois admettre que les changements de la pression^ de chaque particule seront du même ordre que ceux de sa valeur hydrostatique.

Or cette circonstance suffira pour que la densité de chaque particule, p, considérée comme fonction de p et de 6, soit liée, très sensiblement, à l'échaufTemenl 6, comme si sa pression p restait constante. Car, même s'il s'agit d'un gaz, de l'air atmosphérique, par exemple, à une température (ordinaire) de 285 degrés absolus, une élévation modérée 8 de sa température, soit lo** pour fixer les idées, réduira, à pression constante, sa densité du -—^ ou des ^, réduction qui, pour se produire à température constante,

ou par abaissement de pression, exigerait l'énorme élévation

OU — — f soit 281", de son niveau hydrostatique. Comme une

telle dénivellation hydrostatique de la particule est tout à fait disproportionnée à celles qui ont lieu, ce sera presque uniquement à raison de réchauffement 0, ou comme si/? ne changeait pas, que se produira la variation relative de p. Et il en serait de même, à bien plus forte raison, dans le cas d'un liquide, où les changements de pression modérés n'influent qu'imperceptiblement sur la densité.

Ainsi, le calcul des petites variations de p se fera dans l'hypothèse d'une pression p constante. Et voilà pourquoi, plus haut (p. i58), nous avons pu évaluer la capacité calorifique C dans cette bjpolhèse. Par suite, si a désigne le coefficient ordinaire de la