DEUXIÈME PARTIE
SUITE : CALCUL DES COEFFICIENTS DE RÉSISTANCE POUR LES FORMES LES PLUS SIMPLES DU CORPS SOUDE.
8. Résistance d'une sphère. — Évaluons d'abord les coefficients de résistance dans les deux cas les plus simples, qui sont ceux : i** d'un corps sphérique, 2** d'un cylindre circulaire, de longueur indéfinie, raû perpendiculairement à son axe.
Dans le premier cas, si R désigne le rayon de la sphère, le quotient k du volume par la surface sera -R. On aura donc RznSX:. El Téqualion (3) de la surface (p. 200) donnera (3-3) 5*-f-r^»-+-Ç»=9-
Les variables Ç, tj, ï y seront évidemment les coordonnées courantes d'une sphère, décrite de Torigine comme centre, avec un rayon égal à 3, c'est-à-dire tel que la valeur de k s'y réduise à l'unité. Il suffira donc d'évaluer la fonction p et les intégrales (23) dans l'hypothèse de cette sphère, pour que Ç, t), Ç remplacent parfaitement x — x^, y — y^, z — ^o* Les cosinus directeurs cos(a, p, y) y seront, par suite,
ce qui donnera, en particulier, à la relation spéciale (19) (p. 2o5), la forme
(36) (pourî«+V-^C» = 9) %^-^%-^'^%^^^'
Appelons t la distance \j\* -h tq* -+- Ç*, au centre de cette sphère, du point quelconque (Ç, tq, Ç). Le produit - de son inverse par une constante arbitraire vérifie, on le sait, Féquation indéfinie (18), devenue A,pz=o. Mais comme, à raison de sa symétrie en 5, ^it Ç, ce produit ne pourra pas donner au second membre de (36) la valeur voulue $, de préférence aux A^aleurs analogues r,, Ç, il y aura lieu d'es-
RÊSISTiNGE d'une SPHÈRE, IMMERGÉE DA!<îS LN LIQUIDE PARFAIT. 2l3
sayer pour p, au lieu de celte fonclion - de $, Tn> î, Tune de ses dérivées
premières, qui vérifient, comme elle, l'équation A,p=:o. Or ces dérivées d'une fonction homogène du degré — i en Ç, r,, X, sont, on le sait aussi, des fonctions homogènes du degré — 2 ; et, si Ton choisit la dérivée en Ç, le premier membre de (36) aura, d'après le théorème ciassique d'Euler sur ces sortes de fonctions, la valeur ( — 2)p, c'està-dire
La condition (36), relative à la surface du corps, sera donc satisfaite,
pourvu qu'on prenne c= — ; et comme, d'ailleurs, l'inverse de t et
toutes ses dérivées partielles s'annulent pour t infini, la condition (20) (p. 2o5) sera vérifiée également.
La formule de p est donc
A la surface de la sphère, où t in: 3, elle se réduit à
p = — - — ces a;
et les formules (23) (p. 206) deviennent
/i« 3 f , fl^d ^ 3 r Q^T 3 /• d<j
u»; a — - / cos'a — ♦ f— - /cosacosB — » e=- / ces a ces y — •
Il est évident que, dans les expressions de f et e, les éléments d<Sj distribués tout autour de Taxe des $, pour lesquels la valeur de cosa est la même, se trouvent, deux à deux, correspondre à des valeurs ou de cos^, ou de cosy» égales et de signes contraires ; en sorte que ces expressions sont identiquement nulles : ce qu'on savait d'ailleurs par le numéro 7 (p. 209).
Quant à la valeur de a, elle est, en raison de la parité de forme de la sphère autour des trois axes des Ç, tq, Ç, la même que celles de b ou de c; et elle égale, par suite, le tiers de la somme
3 /• r. d<j 3 rd(j
i3<j) a-^-b-f-c— - / (ces* a -h ces* p -^ ces* y) — =- / —
2l4 RÉSISTANCES DE LA SPHÈRE ET DU CYLINDRE INDÉFINI,
On a donc, dans le cas d'un corps sphérique,
La résistance opposée au fluide par la sphère solide ou, ce qui revient au même, Timpulsion exercée sur celle-ci par le fluide, valent ainsi, à chaque instant, la moitié de la force qui imprimerait à la masse fluide, /w, déplacée statiquement par le solide, une accélération absolue égale à Taccélération relative qu'ofl'reau même moment Tensemble du fluide par rapport au solide.
C*est précisément ce que du Buat avait reconnu, il y a environ cent vingt ans, en faisant osciller dans l'eau un pendule sphérique; car il avait interprété les résultats de ses observations en disant que le pendule, vu son poids apparent dans l'eau (force motricCy par sa composante tangentielle), a sa masse fictivement accrue de la moitié environ de celle du fluide qu'il déplace, ou, encore, qu'il traîne à son arrière ou pousse à son avant une poupe et une proue fluides dont le volume total est à peu près la moitié du sien (*); et Poisson a, le premier, démontré théoriquement ce résultat, pour un pendule sphérique oscillant au sein d'un fluide en repos (* ).
9. Cas d'un cylindre de longueur indéfinie; détermination du problème. — Passons maintenant au cas analogue, mais à deux coordonnées seulement x et j', ou Ç el tq, d'un cylindre circulaire de longueur indéfinie et de rayon R, animé de translations données 'Z/\
dans les sens des x et des y normaux à son axe, et plongé dans un fluide auquel des forces accélératrices également données X et Y impriment suivant les mêmes sens des mouvements communs, observables effectivement dans les régions assez éloignées du cylindre. Tout est alors pareil dans les divers plans normaux à Taxe; de sorte que les vitesses du fluide se réduisent à leurs deux composantes tt, v et que les composantes de la résistance, réduites de même à R^ et R^, peuvent être rapportées à Tunité de longueur du cylindre.
La démonstration de l'unité de solution du problème (p. 2o3) s'applique au cas présent, sans même qu'on ait besoin de supposer circulaire le cylindre. U suffit de remplacer, dans cette démonstration, le
(') Tout en l'excédant cependant dans une petite proportion variable, pour une raison qu'on verra plus loin (n*» 20). (-) Mémoires de V Académie des Sciences, t. XI, 1882, p. 570.
