IMMERGÉS DANS UN FLUIDE PARFAIT INCOMPRESSIBLE

volume 7ÎT, compris entre le solide et une sphère enveloppante d'un rayon croissant r, par une aire <j contenue, dans le plan des a;/, entre le cylindre donné et un cercle Tentourant, dont on fait croître ensuite iodéfîniment le rayon r. Les intégrales qui étaient prises dans toute rétendue m se trouvent ainsi remplacées par d'autres s'étendant à Taire a, et celles qui étaient relatives aux deux limites du volume m, par d'autres exactement de même forme, mais prises le long des deux contours tant extérieur, s', qu'intérieur, 5, de l'aire <j, et que la condition (12) (p. 2o3) réduit finalement à leurs éléments concernant la circonférence extérieure 5'=: 2 irr de cette aire. La formule (i5) se Irouve ainsi remplacée par celle-ci :

exactement pareille et qui, vu la condition p'=o (pour r infini), entraîne l'annulation de p' dans toute l'aire a.

11 est clair que les démonstrations données au n<» 7 (p. 207) s'étendraient de même au cas actuel et y prouveraient que, sur les quatre coefficients de résistance, a, b, f, f, actuellement subsistants, les deux derniers, f, f , sont égaux et les deux premiers, a, b, essentiellement positifs.

10. Résistance du cylindre circulaire indéfini. — Mais passons au calcul de la fonction p et des coefficients de résistance pour le cylindre circulaire. La ligne k, quotient du volume de celui-ci par son aire, est alors la moitié du rayon R, et, R étant ainsi 2/-, l'équation (3) de la surface se réduit évidemment à î*-i-7)*=4. Les trois cosinus directeurs cos(a, p, y) sont ^(î, t^jO); et la relation (19) spéciale à la surface devient

(a'>) (pour5«-+-Tj«=4) 5ç-5-^^'i = ^

Ici, pour que les variables |, r, expriment les coordonnées x — Xq, y—yo du contour d'une section rapportée à son centre, il faudra que le rayon de cette section égale 2. Nous admettrons donc, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'un cylindre où Rr=2.

Si viz:^Ç*-h Yî* désigne alors la distance d'un point quelconque du

fluide à l'axe du cylindre, la fonction de t, analogue au potentiel - du

cas de trois coordonnées, qui vérifiera l'équation (18) ou qui annulera A,p (réduit à ses deux termes en $ et tj), sera, comme on sait, le

2l6 RÉSISTANCES DU CYLINDRE INDÉFINI ET DE L*£LL1PS0IDE,

potentiel cylindrique clogt, dont les deux dérivées premières en \ et T) vérifient, par suite, elles aussi, Téquation Ajp = o et sont d'ailleurs fonctions homogènes du degré — j .

Essayons donc de prendre la première, —> pour p, dans le cas de la

condition spéciale (42)- L^ premier membre de celle-ci deviendra

simplement, d'après le théorème d'Euler, — p, ou -z= — y-] ^^

elle se réduira au second membre, $, pourvu qu'on fasse c^ — 4-

Comme, d'ailleurs, la même dérivée en Ç de c logt, de Tordre de - au\

grandes distances t de l'axe, s'y évanouit asymptotiquemenl, la condition (20) (p. 2o5), actuellement devenue

(43) p ~.o (pour /Ç* -H r^* infini),

se trouvera également satisfaite. On aura donc

Cette expression devient — $ ou — 2 cosa à la surface du cylindre; et

les formules (28) de a, f, e, où il est évident que cos^ égale sina et

d9 doL .

que — vaut — 9 reviennent a ^ CI 27r

(45) a = 2/ cos*a — =1, i = 'x 1 cosasinoc — = o, e = o.

En résumé, les deux coefficients de résistance a, b se réduiront à l'unité, les autres seront nuls, et Ton aura

Le volume total de la poupe et de la proue Jluides considérées par du Buaty ou fictivement retenues par le cylindre circulaire^ égale donc le volume même de ce cylindre,

11. Extension des résultats précédents au cas de l'ellipsoïde. — Les formules de la résistance d'une sphère et d'un cylindre circulaire indéfinis sont comprises comme cas particuliers dans d'autres, encore

IVMERGÉS DANS UN FLUIDE PARFAIT 1NOOMPR£SSIBLE. 217

assez simples, concernant Tellipsoïde à trois axes inégaux ('). Nous pouvons supposer celui-cî remplacé par un ellipsoïde semblable, de 'liiBensions telles que k y égale i, ou dont la surface équivaille au volume. Si a, b, c y désignent les demi-axes, et Ç, tj, ï des coordonnées comptées suivant leurs sens respectifs, son équation sera

eil'on aura, pour celle des ellipsoïdes homofocaux et extérieurs, ou décrits dans Tespace occupé par le fluide,

«eur paramètre caractéristique X croissant de zéro à Tinûni dans les couches fluides enveloppantes de plus en plus éloignées.

^n sait que ce paramètre remplace, comme variable, la distance t ^" Centre, quand, dans l'étude de divers phénomènes, on passe du /^ ^e la sphère au cas de Tellipsoïde. Ici où la fonction p se trouve

^> dans le problème de la résistance d'une sphère, le produit de — Ç r*^ \xtxe fonction de t, il y aura donc lieu de chercher à résoudre le ^toWème analogue de la résistance de Tellipsoïde, en prenant pour p uo produit de la forme

où ç désignera une fonction de X à déterminer parles équations (i8), (19)) (20) (p. 2o5). Celles-ci seront :

(5.) (poorX = o) -^^^-^x^^^-^-rS

' a* -t- X rf$ 6* -+- X é/7) c* -+- X rfÇ a* + X

^^) (pour X infini) Jçp = o.

Nous aurons à difierentier deux fois en $, tq, ï le produit Çcp et, par suite, la fonction ç de X. 11 faudra donc former, par une difl'érentiation de (48) en Ç, tj, î, les dérivées premières de la fonction implicite X.

(') Obtenues par Grcen en décembre i833 {Transactions d'Edimbourg, t. XIII), d'après une citation qu'en fait G.-G. Stokes dans l'introduction du Mémoire cité plus loin (n" 20).

2l8 RÉSISTANCE DE l'eLLIPSOIDE,

I^our abréger, posons

( *^ = ("aM-X)» '^ (6«-T-X)3 "^ (c*H-X)»'

et il viendra évidemment, d'abord, pour la dérivée première de X en $, puis, pour celle de H, qui nous sera bientôt nécessaire :

d^ ~ H a*-hX' '''' 'rfH^ ^$__ ^^dX ï 4K î

rf$ (a^-hly- d^ {a^-hly H a«-+-X

Les dérivées de X et H en tj, Ç s'en déduiraient par les changements de Ç en Tj ou ï et de a en 6 ou c.

Cela posé, le calcul de A, (5^) nous donnera successivement :

^k - 15! s^ 4y$ r i! iK ji i

d%i H« (a*-+-X)« H« [(a«-hX)» H (aî-nX)*]

H« (aî+X)3 "^ H a*-+-X' ^ =:£«'! !L.

et, enfin, par une addition ( terme à terme) des trois dérivées secondes directes de Ç®, où s'entre-détruisent les termes en K,

L'équation (5o) reviendra donc à poser <55) (2; + -^^) ^ ^ (^ M- -^^ + ^) = o,

OU bien, en multipliant par dX et appelant — log( — A) la constante arbitraire introduite au second membre par une première intégration