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Ainsi, l'onde courbe est aplatie par le mouvement du corps. Elle le sérail môme infiniment, ou se changerait en un simple disque, touché par les ondes planes de toute direction suivant son contour circulaire. , où aboutiraient alors tous les rayqns lumineux émanés du centre, si la vitesse V atteignait la va-

leur 1/ — -^» Au delà, c'est-à-dire pour les valeurs de V encore plus grandes,

le disque se changerait, comme le montre la même équation de l'onde, en no hyperboloTde de révolution à une nappe, ouvert dans les deux sens des x positifs et des X négatifs. Et il n'y aurait d'ondes planes possibles ( à propagation uniforme) que suivant les directions de ses plans tangents, c^est-à-dire suivant les plans dont l'angle avec l'axe de révolution ou le sens de la translation serait moindre que la demi-ouverture du cône asymptote à l'hyperbolofde.

Dans tous les cas, l'onde n'ayant qu'une seule nappe, qu'un seul plan tangent, tout au plus, parallèle, d'un même côté du centre, à un plan quelconque me né par ce centre, il y a hétérotropie du milieu en mouvement (avec isotropie autour de l'axe des â;), mais sans biréfringence,, ni polarisation. En effet, la vitesse (0 n'a, au plus, qu'une valeur absolue pour chaque valeur a de l'angle de la normale aux ondes avec l'axe des a?; et, sur leurs plans, la vibration peut se faire indifi'éremment dans tous les azimuts.

II. Lois des ondes planes, latéralement indéfinies, dans un corps transparent hétérotrope animé d'une translation rapide, et même dans tout milieu vibrant dont les équations de mouvement sont linéaires aux dérivées partielles, du second ordre et homogènes quant à l'ordre des dérivées. — Passons maintenant au cas d'un milieu naturellement hétérotrope animé d'une translation V à composantes V,, V^, V,; et demandons-nous ce qui, dans la même hypothèse

(') Voir, par exemple, le Tome I, consacré au Calcul différentiel, de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique (second fascicule : Compléments, p. 227*).

LES THÉORËM£S d'uUTGBNS OU DE PRBSNEL s'T APPLIQUENT. 667

d'extrême exactitude de nos équations^ subsiste des lois simples des ondes planes, quand on tient compte du pouvoir biréfringent du milieu et des carrés ou produits de V^, V^, V^, mais qu'on néglige la dispersion, l'absorption et le pouvoir rotatoire. Par rapport à des axes, soit fixes, soit animés eux-mêmes d'une translation uniforme quelconque, les trois équations en Ç, t^, Ç aux dérivées partielles seront encore linéaires, homogènes du second ordre (c'est-à-dire aiïectées, dans chacun d : leurs termes, d'une des dérivées secondes de ^. t^, C en t^ x, y o\x z), et enfin, à c (efficients constants. Ne leur attribuons pas actuellement d'autres caractères que ceux-lè.

Si, d'abord, nos ondes planes sont latéralement indéfinies et d'amplitude uniforme, ou à déplacements Ç, v;, ^ fonctions uniquement de l'expression linéaire t — lx— my — nzy les mouvements pourront être rectilignes, ou consister en déplacements 6 à cosinus directeurs (/', m\ n') communs et invariables; ce qui donnera, l\ m\ n' étant constants et /désignant une fonction arbitraire,

(a') Ç = /'o, ti = m'6, Ç=/i'o, avec B=/{t — Ix — my — nz).

Effectivement, appelons 8', 6', ... les dérivées successives de 8 par rapport à sa variable t^lx— my — nz ou, en conséquence, par rapport au temps t : l'on aura, pour 8 et ses dérivées, les formules symboliques de diflférentiafion

d{x,y,z) " v^, '"l'w ^^' c'est-à-(fire, notamment,

et, en désignant par 9, x» +» ?p Xi» +i»?j» Xs» ^j '^s polynômes respectifs du second

degré en /, m, n que donne la substitution de — l^— m^ — n à -^ -— dans

les termes en Ç, t\ ou ^ des trois équations du mouvement, après transposition à leurs premiers membres de tous les termes des seconds membres, ces trois équations deviendront, au facteur commun près 8%

Leur compatibilité exigera simplement l'annulation du déterminant des neuf éléments 9, x> ^y 9n Xm 4^1^ ?3' Xi^ ^2'^ ^^ 4"^ donne une équation du sixième degré en /, m, n assignant, comme nous savons, pour chaque direction des plans d'onde, c'est-à-dire, pour chaque système donné des rapports mutuels de /, m, /i, certaines vitesses <•> de propagation des ondes, vitesses inverses du radical y^/^-h ni^-i- n^. Après quoi, /', m\ n! seront entre eux comme des déterminants partiels X, (j., v formés encore avec les mêmes neuf éléments et, par suite, fonctions entières de /, m, n.

Les considérations du bas de la page 298 s'appliqueraient ici, quand l'équation en (i> aurait trois racines positives, pour permettre de résoudre un mode d'ébranlement quelconque, s'exerçant de la même manière sur toute l'étendue d'une couche plane du milieu, en trois modes <{/n/>/e5^ où les vibrations seraient rectilignes et la propagation uniforme.

Si une racine (•> est réelle quels que soient les rapports mutuels de /, m, /i, des ondes planes de toute direction, passées par l'origine des coordonnées depuis un

568 ONDES DE l'ÉTHER, DANS UN CORPS HÉT£R0TR0PB EN MOUTEMENT :

même temps /q, auront pour équatioo

(a**) Lr -h my -h nz = t^.

Leur enveloppe, obtenue en faisant varier l, m, /i, constituera sensiblement, comme on voit par le n<> 23 (p. 3i6), une onde courbe, émanée de l'origine depuis le même temps t^ et qui offrirait, en chaque endroit {x,XjZ)f les mêmes caractères, à très peu près, que ces ondes planes. Chacun de ses rayons, de direction donnée, croit proportionnellement à t^] car l'équation des enveloppées contient

seulement, avec /, m, n, les rapports - — ~- — ^•

III. Relation^ dans le même cas très général^ entre la direction d*ondet planes latéralement limitées et le sens de leur propagation. — Il y a lieu de voir si, comme dans le cas d'un milieu transparent homogène en repos (p. 3o6), un faisceau de lumière parallèle, ou constitué par des ondes planes limitées latéralement, aura son axe dirigé suivant le rayon aboutissant, dans Tonde courbe, au point de contact du plan tangent qui leur est parallèle.

Or, dans un système d'ondes planes latéralement limitées, peu différent, en chaque ench'oit (x, y, 2), d'un système latéralement indéfini, la composante 6, suivant la direction fixe (T, m', n'), des déplacements, dépend surtout de t — Ix — my — nZf ou n'a que des variations lentes avec x^y, m quand la variable principale t^lx — my—nz ne change pas. En outre, les différences Ç — /'5, Tj — m' 6, Ç — Ai'6 n'y sont que de petits écarts, fonctions encorCj principdlement, de la variable t — Ix ~ my — nZf et, par suite, à variations insensibles ou négligeables, d'un ordre de petitesse supérieur, quand x, y, z varient sans que cette variable change. On peut donc, écrivant, pareillement à ce qu'on a fait au n* 18 (p. 3o3),

regarder £, £,, Sj comme fonctions seulement de la variable principale, ou, par suite, comme donnant en tout, dans les premiers membres des équations de mouvement, les termes, analogues aux premiers membres de (a") multipliés par 6%

(Pi) ? «'-+- X < + + «2. ÇiS^^- X,£'; -+- iV^e;, ?,€"+ /3«'; H- Va^'.

Mais les termes fournis par les trois produits (/', m', n' ) S seront plus complexes; car, pour différentier 8 en j?, y, 2, on aura, comme nous savons, les formules symboliques

dT^^z)=-^^^"'^''^dc-^ôix,y,z)' et, par suite, toujours en négligeant les dérivées secondes

dn dx

g....-„*.(,ig)V,

Bref, chaque dérivée partielle seconde de 6 diffère de son expression, relative

LES THÉORÈMKS d'HUTGENS OU DE FRESNEL S*T APPLIQUENT. 669

au cas d'une onde plane latéralement indéfinie, par la substitution à /, m, n, dans cette expression, de /, m, n accrus respectivement de la diflférentielle fictive

Et si dfj d^j d^, ... désignent les différentielles correspondantes des polynômes ?i X» '^i "'7 ^^^ premiers membres de (a*) seront, de ce cbef, accrus, après division par 6% de

/' d? 4- m' dx 4- n' d^/, /' dç, -*- m' dxi -f- n' d^J',, /' df ,4- m' àXi •+■ ^' d^/,.

En tout; les équations du mouvement deviendront donc (après division par 8') pour un système d'ondes planes latéralement limitées, et en supprimant les termes /'?, ..., n'^^ qui se neutralisent en vertu de (a") :

gîï ? -^ gi X -+■ p + + ^' ^? + '^i' dx -t- 1' <^4' = o,

(P") \ 5*91-*- giXiH- 5l+i-H^'<^?|H-'w'dx,+ n'd4',= o,

Appelons, comme dans la Note des pages 473 à 476, X', fi', v' les trois polynômes en /, m, n vérifiant les équations, à même déterminant que le système (a*) et dès lors compatibles aussi :

çpV-f-(p,jj.'-f-<pjv'=o, X>^'+Xiî^'+X2^'=o* ^/V-h<^,{x'4-4;2v'=o.

Alors les équations (P*), respectivement multipliées par \\ |x', v' et ajoutées, donneront

/'(X'dç-t- ji'dçi-t-v'dçj) -h m'Çk'àx-^ H^'^^i + ^'^^^a)

c'est-à-dire, par la substitution à d?, d9p ... de leurs développements

rfcp

dm + ^ dn, .

puis,

àd (l,m,n),

de leurs valeurs —

et après

du facteur — ^ :

dl)

* 7.1 àx

Multiplions par dt et intégrons, sur place, soit à partir d'un instant où le déplacement 8 était nul dans la région (j?, y, z)^ soit, s'il s'agit de mouvements périodiques, de manière que la valeur moyenne de 8 durant une période soit nulle en chaque point (â?, /, z). De plus, remplaçons les cosinus directeurs /', m\ n' du déplacement principal 8 par les polynômes proportionnels en /, m, n appelés \ {if v^ c^ désignons enfin par P, Q, R, comme dans la question analogue de la