RÉFLEXION ET RÉFRACTION DANS LES CORPS EN MOUVEMENT RAPIDE

note citée (p. 47^), ce que deviennent alors dans (P*) les quantités entre crochets. Nous aurons

Or, les équations (a'), où Ton substituera de même X, p., v à /', m', n', pourront se traiter comme l'ont été à la page ^-]5 les équations (y) de la page 474* pour donner, entre les variations élémentaires de If m, n dans l'équation finale en /, m, /i, la relation aux différentielles totales

( y' ) P rf/ -h Q <im -+- R rf/i = o.

L'on en déduira pareillement l'identité de la direction {x, y^ z) du rayon r aboutissant, dans l'onde courbe, au point de contact de celle-ci et de Tonde plane enveloppée que l'on donne^ avec la direction (P, Q, H) suivant laquelle se fait la propagation du mouvement.

Donc, même dans le cas d'ondes planes isolées ou non périodiques^ d'étendue restreinte, le rayon instantané correspondant se construira, au moyen d'une onde courbe enveloppe d'ondes planes de toute direction, par la règle d'Huygens et de Kresnel, comme si les mouvements y étaient pendulaires (p. 47^)* Mais nous nous bornons ici à des équations de mouvement homogènes du second ordre par rapport aux dérivées partielles des déplacements Ç, t^, Ç en a?, y, s, /.

Grâce à la condition (y), une fois vérifiée, les équations (^') se réduisent à deux distinctes; et celles-ci, jointes à la relation supplémentaire,

exprimant que 6 est la composante eflective des déplacements suivant la direction fixe (/', m', /i'), détermineront complètement les trois petits écarts s, e,, c,, quel que soit le mode lent, donné, de variation de 6 d'un point à Tautre de Tonde plane en question.

rv. — Extensionj au même cas, de la construction dHuygens pour les rayons réfléchis et réfractés issus d'un rayon incident donné. — Gomme les considérations du n« 48 (p. 402) montrent que les quatre équations définies ordinaires, relatives à la continuité des rotations moyennes et des déplacements tangentiels, continuent à s'appliquer aux surfaces séparatives de deux milieux homogènes animés d'une translation commune, il en résulte que la construction d'Huygeus pour les rayons réfléchis et réfractés (p. 364) subsistera sans modification, à la condition d'adopter, bien entendu, les figures d'ondes courbes enveloppant effectivement, dans l'espace relatif lié aux axes coordonnés choisis, les ondes planes de toute direction ( ' ).

(') Au début de cette démonstration (p. 4oa) des conditions de continuité à la limite commune de deux corps en mouvement, j'aurais pu observer que les dérivées premières et secondes V// * — ^^r~^"^' calculées dans le système

d'axes mobiles liés à ces corps, restent finies bien qu'elles soient non plus des vitesses ou des accélérations, mais seulement des dérivées des déplacements vibratoires prises par rapport au temps, à l'intérieur de la couche de transition, en la suivant dans sa translation rapide; car ces déplacements vibratoires Ç, t^, C de

LES RBL. DE CONTINUITÉ ET LA CONSTRUCT. D*UUYGENS s'y APPLIQUENT. 57 1

Je suppose ici, implicitement, que ces conditions de continuité, quoique équivalant en tout à quatre relations distinctes seulement, au lieu de six ordinairement nécessaires quand il y a trois fonctions inconnues \, v^, t^, suffiront néanmoins, par leur adjonction aux trois équations indéfinies du mouvem ent dans chaque milieu, à déterminer la suite des états physiques résultant d*un élat initial donné.

Cela résulte de la marche suivie au n* 31 (p. 34a à 345), et qu'on suivrait de même ici, pour extraire, des trois équations indéfinies, considérées dans la couche de transition, six conditions définies, en lesquelles ces équations indéfinies se condensent, pour ainsi dire. Ayant considéré d'abord, à part, chacune des deux dernières équations indéfinies, nous en avons déduit, par deux intégrations successives suivant l'épaisseur de la couche, deux de nos quatre équations de continuité et, par conséquent, au total, les quatre, qui sont évidemment tout ce que les deux équations dont il s'agit pouvaient, à elles seules, nous donner. Après quoi, soit de la première équation indéfinie, soit de l'ensemble des trois, nous avons extrait deux autres conditions, mais en reconnaissant qu'elles résultaient des précédentes, combinées avec les équations indéfinies prises dans les deux milieux contigus, ou sans aucun nouveau recours à la couche de transition; et tout cela, à raison de la forme des seconds membres de toutes ces équations indéfinies, réduite par l'hypothèse de la transversal ité des vibrations dans l'éther libre. Or les mêmes circonstances se produiront ici, sauf une plus grande complication des formules et plus de difficulté, sinon même l'impossibilité, en général, d'intégrer deux fois par rapport au temps, les relations analogues à (91) ou à la première du n* 3 (p. 272). Au résumé, les conditions résultant, dans la couche de transition, de l'adjonction de la première équation indéfinie aux deux autres, ne constitueront que des conditions définies surabondantes.

Ce fait peut se reconnaître d'une autre manière, plus directe peut-être, quand les deux milieux contigus sont isotropes, cas où l'on a vu ci-dessus (p. 563) que la dilatation cubique 6 est nulle, ou que les déplacements, là où ils varient graduellement avec Xy y^ z, se font à très peu près dans les plans d'onde. Dès lors, en effet, une des trois composantes Ç, f\, X^ du déplacement résulte, en fonction des deux autres, de la relation

et, quand les plans d'onde sont donnés soit explicitement, soit implicitement, il ne faut pas plus de conditions définies, ou relatives à une surface limite, que si Ton avait à déterminer deux seulement de ces tr(»îs fonctions. Ainsi l'on conçoit que quatre conditions, au lieu de six, suffisent bien.

Pour savoir sMl en est de même dans le cas de corps hétérotropes, formons la relation qui remplace alors celte, 6 = 0, du cas particulier précédent. Les trois équations du mouvement, en y appelant, d'une part, A, B, C, D, E, P les six coefficients de résistance de la matière pondérable, d'autre part, a, p, y les composantes de la vitesse de translation des axes, et a', P', y' les différences respec-

l'éther ne cessent pas d'être finis (et même très petits comme ailleurs) au sein de la couche en question : ce qui ne permettrait pas d'y supposer infinie, d'une manière continue, une dérivée de Ç, 7^, Ç par rapport au temps, quelle qu'elle soit.