ÉQUATIONS DES FORGES VIVES ET DU VIRIBL
cient 9 d'asymétrie par le rapport de la constante S des aires aa carré moyen, ^(E'^-+-*n''-l- C'^), delà vitesse vibratoire; et la première expression (5o) est hi moyenne entre les trois carrés constants donnés a^, 6', c% obtenue en attribuant à chacun, comme coefficient d'importance, la fraction qui exprime, dans Tintensité lumineuse totale, la part due à la composante du mouvement vibratoire suivant l'axe principal correspondant.
Dans le cas de vibrations rectilignes (où S = o), la formule (49) redonne bien, pour tù^y la valeur approchée (170) (p. I18), point de départ de toute cette généralisation.
XIV. Équations des forces vices et du viriel, pour les milieux transparents doués d'un pouvoir rotatoire magnétique. — Essayons, en terminant, de faire pour nos milieux biréfringents dissymétriques, mais transparents, doués, comme on voit, d'une propriété identique ou analogue au pouvoir rotatoire magnétique^ ce que nous avons fait, dans le Complément des pages 588 à 691, pour les milieux à pouvoir rotatoire ordinaire; cherchons ce qu'y deviennent les formules des forces vives et du viriel.
Prenons les équations (S') de mouvement (p. 488) sous la forme
où les accents de Ç, v^, C indiquent des dérivations en t. Et multiplions soit par
{\'.i'h\^') dtdxn, pour avoir Téquation des forces vives, soit par ( ^, t„ IJ ) c^o,
pour avoir celle du viriel; puis ajoutons. Enfin, intégrons le résultat dans tout l'espace a où se produit le mouvement.
Dans le premier cas, les termes de dissymétrie, ou aflectés de d, e, f, s'entredétruisent. Donc les résistances productrices du pouvoir rotatoire ont travail nul; et V équation des forces vives est, dans ces milieux, la même que dans les milieux symétriques correspondants où d, e, f s'évanouiraient, mais où a, bj c garderaient leurs valeurs.
Dans le second cas, les termes de dissymétrie donnent en tout, au premier membre du résultat, l'intégrale
Nous y retrouvons les dérivées en t considérées tout à l'heure (p. 6ao), rîÇ — Çti', ..., du double des aires décrites, en projection sur les plans coordonnés, par le rayon vecteur (Ç, "n, î^) de la particule du d'éther. La fonction sous
le signe / > dans (62), est donc le produit de l'axe? d'asymétrie par la dérivée
en t de l'aire, û, que décrit le même rayon vecteur en projection sur un plan normal à cet axe d'asymétrie. Ainsi, les termes affectés de d, e, f introduisent en tout, au premier membre de l'équation (e") du viriel (p. 28C) et saut un facteur constant proportionnel à 9, l'expression
C'est donc une dérivée première (et non seconde) en ^, qui vient s'adjoindre
Ci dm,
DANS LES MILIRUX A POUVOIR ROTATOIRK MAGNÉTIQUE. 628
à l'expression principale {t") (p. a86); et, de plus, la fonction Û sous le signe /
y représente une aire dépendant non pas seulement des déplacements ^, t\^ C actuels, mais de tous les déplacements antérieurs de la particule dm d'éther. Aussi l'application de l'équation à un système d'ondes se propageant sensiblement, pour y démontrer la conservation de la force vive (comme au bas de la page a86), devient-elle beaucoup plus difficile.
Elle ne parait simple, en dehors de Thypothése d'ondes planes, à mouvements pendulaires, où cette conservation est évidente, que dans le cas d'isotropie du milieu (quant à ses coefficients physiques a, b, c, alors égaux) et de vibrations rcctilignes, où Ton a Q = o sans que la rotation du plan de vibration change rien à l'intégrale figurant dans l'expression en question (e"), vu qu'il faut y annuler D, E, F et y faire C = B = A.
Alors les deux équations des forces vives et <lu viriel ont même forme que pour un milieu symétrique; et chaque onde conserve sa force vive par le fait môme qu'en se propageant à fort peu près elle laisse presque invariable (p. 3B7) celte intégrale figurant dans (s").
Complément a la théorie dr la dispersion rotatoirr.
On a. vu, au n» 63 (p. 4^9), qu'il y avait lieu, dans les ondes à très courte période vibratoire, d'uniformiser les résistances (R^, R^, RJ des molécules pondérables, mais surtout leurs sommes par unité de volume (cR^, cR^, ^^)i et que cela se faisait, après y avoir substitué à ^, t|, ^ leurs valeurs uniformisées ou moyennes locales, en retranchant de chaque terme le produit de son para-
mètre différentiel A^ par • Or on sait que, dans les ondes se propageant avec
une vitesse dont la valeur approchée est une constante connue a, le symbole A^
I rf' équivaut presque, pour toute fonction de ^, ti, C et de leurs dérivées, à — -.--^%
ou même au facteur algébrique j, si les vibrations, supposées pendulaires,
ont la période -.-• Et cette règle approchée s'applique encore mieux aux petits
termes de ^,, .>fl^, t'A ,, comme (218) (p. 456), qu'à leurs termes principaux pou lesquels elle pourrait être insuffisante. Il en résultera donc, à une deuxième approximation, le remplacement du coef-
1 H . )» OU par a( i -h - — ) • Or la ro-
loaV \ jx 10 /
tation du plan de polarisation par unité d'épaisseur du milieu est, d'après (aSo)
(p. 460), ^» c'est-à-dire, vu la seconde formule (219) (p. 4^7)) — ^^ (M-
Substituons-y à a sa nouvelle valeur binôme et de même, à |a, l'expression analogue, comprenant le terme de dispersion de Cauchy qui s'y trouvait implicite-
(') Voir, à propos de cette formule (280), dans Yerrata, après la Table des matières, comment il convient de modifier les lignes 6 à 7, i3 à 18 et ao de la page 461.
62^ DISPERSIONS ROTATOIRBS, PLUS RAPIDEMENT YARIABLES
ment [comme on a vu avant de poser les équations (220) (p. 4^^)]* expression
qui est ix(i— xÂT^) ou p.(i— "^ y
Il viendra, pour cette rotation par unité d'épaisseur, constituant le pouvoir rotatoire effectif ou total du corps, la formule
23o bis ) Pouvoir rotatoire = ( i H ^ ~ } •
2JJL \ A lOJI, /
Le pouvoir rotatoire crott donc, du rouge au violet, un peu plus que proportionnellement à A-^, ou à r inverse du carré de la période vibratoire, comme l'expérience Ta indiqué chez le quartz, l'essence de térébenthine, etc., et même, à l'exception de l'acide tartrique ou peut-être aitssi d'une autre substance, chez tous les corps actifs connus (').
( * ) S'il s'agissait de dispersion ordinaire, avec mise en compte seulement du . terme principal ou terme de Gauchy, on aurait, pour le carré de l'indice N de réfraction, la formule
et l'élimination, par celle-ci, de 8^ donnerait au facteur binôme de (23d bis) la forme
Mais ici, vu la grosseur des molécules ou plutôt des groupes moléculaires en jeu dans le phénomène (p. 455), le rayon e d'uniformisation à choisir (p. 579) doit être légèrement plus grand, savoir, d'une petite fraction 6 de sa valeur relative à la dispersion ordinaire; et il y aura lieu de multiplier le numérateur du second terme par (n-6)', c'est-à-dire par 1-1-26, ou mieux, le dénominateur, par 1 — 26. Alors l'expression (280 6») devient proportionnelle à
Pour le quartz, on a environ A = ^ ; et cette expression est, à très peu près,
Dans un Mémoire publié en mai 1897 aux Annales de Chimie et de Physique (6* série, t. XXVI), M. Carvailo a trouvé, en utilisant les meilleures observations,
que ce pouvoir était proportionnel à k^lN^ — M> savoir, à Ar*(N'~ 1,756) :
on en déduirait 0 = 0,16 environ (ou mieux 0,2 en ne négligeant pas 0^).
Mais le carré N^ doit figurer ici, comme on voit, sans son terme de Briot, inverse de k^ et négatif. Soit p^ le coefficient (en valeur absolue) de ce terme. Son rétablissement dans N^ rendra le produit /r'N* trop faible de p^. Et le pouvoir rotatoire effectif du quartz deviendra proportionnel à la somme /r'(N^— 1,756 )-hP^; ce qui le renforce sensiblement pour les petites valeurs de A:, c'est-à-dire pour les radiations infra-rouges. Telle est, sans doute, l'explication des anomalies constatées par M. Carvailo au n'» 22 du Mémoire ci lé.
QUE LE CAEEÊ DE L*1NVERSE DE LA PÉRIODE. 6a5
La même circonstance a lieu dans la polarisation rotatoire magnétique. C'est que, effectivement, les termes qui la produisent, termes en v des équations (oc) de la page 47^) devraient être, eux aussi, uniformisés, sMls ne sont pas déjà une correction d'uniformisation. Et, s'ils en sont une, ils peuvent avoir besoin d'être complétés comme l'a été le terme de dispersion de Cauchy à la page 58o, savoir, par la substitution au symbole A,, d'après la formule (a) (même p. 58o), du binôme symbolique (i ,- — AjjAj, revenant sensiblement à (i-h ~ ^ —j ) Aj.
(Q e^ A"' \ I 4- -y j ) et non
iH 5 ) : correction analogue, quoique un peu moins forte.
Mais ce n'est pas tout. Les équations (oc) se trouvent avoir été implicitement divisées par jjl(i — x/r-). Or il faut, de ce chef, introduire dans v, comme plus
haut dans — t le nouveau facteur binôme i + x/r^, qui le fait croître encore
I .. . « /. . . . -, v/r'cosi plus rapidement avec k. Enfin le pouvoir rotatoire, exprimé par »
acquerra en outre, à raison du facteur binôme i A-' provenant du dénomi-
nateur 2(a ou 3a, le nouveau facteur iH — A*^; ce qui rendra, en définitive,
le pouvoir rotatoire croissant, avec A*, comme le produit k^lt-\ — xA')» sans compter le facteur ci-dessus, ou fourni par l'uniformisation des termes en v (').
(') Absorption rotatoire. — Il est temps de nous arrêter; et, cependant, la mise en œuvre des termes d'absorption mentionnés à la page 6ii, pour les ondes planes, à propagation uniforme et à mouvements pendulaires circulaires ou elliptiques, des milieux dissymétriques translucides, pourrait, sans qu'on eût presque à sortir du sujet actuel, conduire à des résultats intéressants. En attribuant, par exemple, de petits accroissements imaginaires S(L, M, N, A, H) comparables entre eux, non seulement à /, m, /i, a, mais aussi au coefficient très petit de dissymétrie a A, dans les équations (335) (p. 4^9), qu'on peut écrire
{P-hm^-hn') ± 2hk^l'-h ni'-+- n^ — —^ =0
et où h remplace ^ t on expliquerait l'inégalité, parfois sensible, des deux coefficients d'absorption d'un milieu isolrope-diss> métrique, pour les deux espèces de ces ondes où la circulation des particules d'éther dans leurs orbites se fait en sens inverses, inégalité qu'a pu constater M. Cotton chez certains corps actifs {Annales de Chimie et de Physique, 7* série, t. VIII, p. 34; à 436; juillet 1896); car, dans la formule (y**) du coefficient / d'absorption (p. 4^7), le numérateur wa', ou aa\ deviendrait aa'iiçkh'.
