REFROIDISSEMENTS OU ÉGUAUFFEMENTS PAR RAYONNEMENT

trouvent comprendre justement quelques-unes des questions les plus intéressantes de la théorie analytique de la chaleur, celles qui concernent soit le refroidissement séculaire de la croûte terrestre, dans un espace interstellaire supposé à une température constante (abstraction faite de l'action du Soleil, qui s'évalue à part), soit les températures invariables que tendent à prendre les <livers points de cette croûte, ou même du noyau terrestre sousjacent, sous l'influence de températures extérieures fixes et connues, mais inégales, réalisées au-dessus des divers éléments de la surface.

Que le refroidissement et l'échaufTement d'un corps aient lieu par contact ou qu'ils aient lieu par rayonnement, les équations déterminant les températures u de ce corps sont les mêmes, sauf la relation qui exprime les influences, sur sa couche superficielle, de l'enceinte, ou des températures extérieures Ue* Dans le cas simple du contact, cette relation se réduit à u=^Ue\ et c'est la température interne u, sous la surface, qui est connue.

Au contraire, dans le cas du rayonnement, le flux de chaleur, F^, absorbé par l'unité d'aire de la surface et dans l'unité de temps, égale le produit d'un coefficient fini. A*, de conductibilité superficielle, par l'excédent u^ — u de la température extérieure sur la température interne; et c'est, par conséquent, l'expression

égale à w^, qui se trouve seule donnée directement.

Pour simplifier, supposons le corps homogène et isotrope. Alors le flux F^ est le produit du coefficient constant K de la

conductibilité intérieure par la dérivée ^ de la température le

long d'une petite normale dn menée du dedans à la surface; et, si

k l'on appelle h le rapport ^ des deux conductibilités superficielle

et interne, on pourra regarder comme donnée sur toute la surface rayonnante l'expression " + r ^» puisqu'elle y égalera la température extérieure connue Ue- Or, la dérivée --r- étant la somme des dérivées respectives -^ • multipliées par les cosinus directeurs

RAMENÉS A DES REFROIDISSEMENTS OU ÉCHAUFFEMBIfTS PAR CONTACT. 3

correspondants de la normale dn, cette expression " 4- r -y- est une certaine fonction linéaire

, X ^ du ^^ du .du

de u et de ses trois dérivées premières en j:,j^,5,avec coefficients G, H, I connus sur toute la surface rayonnante. On pourrra, d'ailleurs, considérer cette fonction tp, même à l'intérieur du corps : alors on fera G, H, I soit constants, soit dépendants de x^y^ z, suivant que tous les éléments de la surface rayonnante auront ou n'auront pas même orientation; et G, H, I, dans ce dernier cas, seront, à l'intérieur, des fonctions continues de x^y^z dont on disposera librement en vue du but à atteindre, pourvu qu'elles prennent, sur la surface rayonnante, leurs valeurs effectives connues.

Ainsi, la seule différence qu'il y ait, dans les équations du problème, entre le cas du contact et celui du rayonnement, consiste en ce que, sur la couche superficielle en rapport avec l'enceinte, on donne la température interne a, en fonction de /, x^ y^ 5, dans le cas du contact, mais seulement une certaine fonction linéaire o de w et de ses dérivées premières en x^y^ -s, dans le cas du rayonnement.

162. Manière dont se fera la réduction du cas de rayonnement au cas de contact. — Or l'équation indéfinie que vérifie u dans le corps est ordinairement, comme on sait, de l'une ou de l'autre des deux formes

il) /^— a«A,ja = o, Ajtt = o,

suivant qu'il s'agit d'un état calorifique variable avec le temps ^, ou d'un état permanent; et il pourra bien se faire que la fonction f satisfasse à la même équation indéfinie. Cela arrivera, notamment, si tous les éléments de la surface rayonnante sont orientés de même ; car alors. G, H, I étant constants, chacun des quatre termes (i) de © vérifiera séparément l'équation voulue (2). Si, en outre, le corps a des parties profondes où u soit astreint à