CHAPITRE IV. a9i

a , comme on le verra pins bas , toutes ses racines réelles. Les coefficients de la première e'quation a, at' a* a"\ etc. sont arbitraires ; quant aux coefficients des lignes inférieures, ils sont déterminés par un nombre n de systèmes d'équations semblables aux équations précédentes. Il s'agit maintenant de former ces équations.

Ecrivant la lettre q au lieu de on aura les équations suivantes :

at = a,

On voit que ces quantités appartiennent à une série récurrente dont l'échelle de relation a les deux termes (</-+- 2 ) et — i. On pourra donc exprimer le terme général am par l'équation am—K sin. mu + B sin. m — i u, en déterminant convenablement les quantités A, B et u. On trouvera d'abord A et B, en supposant m égal à o et ensuite égal à i, ce qui donne a.=Bsin.«, et a,=Asin.w, et parconsé-

quent a, = a, sin. mu — sin. m — i u. En substituant * sin. u

ensuite les valeurs de am am,, etc. dans l'équation

( q n- a ) — aB, ; on trouvera

sin. m u = (q + a) sin. (m — i) u — sin (m — a) « ,

a9a THÉORIE DE LA CHALEUR,

en comparant cette équation à celle-ci

sin. m u =n cos. u sin.m — i u — sin. m — aw,

qui exprime une propriété connue de sinus d'arcs croissants en progression arithmétique, on en conclut q -+- a = cos. u, ou q = — 2 sin. vers, u ; il ne reste plus qu'à déterminer la valeur de l'arc u.

La valeur générale de am étant

(sin. mu — sin. m — 1^

on aura, pour satisfaire à la condition aa+, = «„, l'équation sin. n + 1 u — sin. u = sin. nu — sin. n — 1 u ,

d'où l'on tire sin. n u = o , ou u = i ' ^, x étant la demi-circonférence et t un nombre entier quelconque , tel que o, i,2,3, 4— n — 1 > on en Peut déduire les n valeurs de

q ou-£-- Ainsi toutes les racines de l'équation en^, qui

donnent les valeurs de h H h" h" sont réelles négatives et fournies par les équations :

h = — 2 — sin. V (o k' = — 2 — sin. V fi-^ A'= — 2-sin. V (2?}

Supposons donc qu'on ait divisé la demi- circonférence r.