CHAPITRE VII. 399 Ainsi l'intégrale précédente qui se réduit à

^ a ^ (rasin. ni cos. v / — v cos. ni sin. v/) est nulle. Il faut excepter le seul cas ou »=v. En reprenant alors

„. ^ , , a/ tin.n — v./ «in. n-f-v./\ . ..,

1 intégrale „v -f- n + v j , on voit que si l'on an=v,

elle équivaut à la quantité ""âV*)' Il résulte de là que si dans 1 équation

i^=a, cos. nty + a, cos. -+- a, cos. etc.

on veut déterminer le coefficient d'un terme du second membre désigné par a cos. ny, il faut multiplier les deux membres par cos. ny.dy, et intégrer depuis y—o jusqu'à y=n /. On aura pour résultat l'équation

* 7 i /, sin. 2/i/\ i . ,

cos. nydy=z-a (7 + - sin. ni,

/■ i /, sin. a/i/'

d'où Ton tire — y=-. a.. On déterminera de cette

manière les coefficients c?t, <2,<, tf,, a4, etc.; il en sera de même des coefficients b, b, b3 bA , etc. , qui seront respectivement les mêmes que les précédents.

Il est aisé maintenant de former la valeur générale de v; i° elle satisfera à l'équation ^ + + ^== o ; a° elle satis-

fera aux deux conditions k ^ + h v=o et h v=o;

3° elle donnera une valeur constante pour v, lorsqu'on fera

4oo THÉORIE DE LA CHALEUR.

# =o, quelles que soient d'ailleurs les valeurs de y et de z, comprises entre o et /; donc elle résoudra dans toute son étendue la question proposée.

On est parvenu ainsi à l'équation

i s»n. n, /cos. nty sin. n, /.cos. n jr ain.nj.cos.n^

4 a n, /+sin. a », / a », /-f-sin. a », / a », l+sin. a », / + etC-

ou désignant par e, £le3 etc. les arcs nt l, nt l, nj, etc.

^ sin. e, cos. -j sin. e.cos.j sin. e, cos. J

4== ae.+sin.ae, + ae.+sin.ae, + a e,-|-sin. a e, ~*~ etC'

équation qui a lieu pour toutes les valeurs de y comprises entre o et et par conséquent pour toutes celles qui sont comprises entre o et — l.

En substituant les valeurs connues de a, bt a, b> a, bs etc. dans la valeur générale de v, on aura l'équation suivante, qui contient la solution complète de la question proposée,

i> sin. n, / cos. », z f sin. », /cos. nty — xVn »+« » \