CHAPITRE VII. /,oi

les arcs e3, i4 etc. sont les racines de I équation déter-

. , hl minée e tang. t

La solution exprimée par l'équation précédente E est la seule qui convienne à la question; elle représente l'intégrale

générale de l'équation ~j + -h ^? = o , dans laquelle

on aurait déterminé les fonctions arbitraires d'après les conditions données. Il est facile de reconnaître qu'il ne peut y avoir aucune solution différente. En effet , désignons par ty(x,yf z) la valeur de v déduite de l'équation (E), il est évident que si l'on donnait au solide des températures initiales exprimées par ^{x,y, s), il ne pourrait survenir aucun changement dans le système des températures, pourvu que la section à l'origine fût retenue à la température con-

stante i : car 1 équation ^ + -jp + -j^. = o étant satisfaite ,

la variation instantanée de la température est nécessairement nulle. Il n'en sera pas de même, si après avoir donné à chaque point intérieur du solide dont les coordonnées sont x, y, z la température initiale ^ (x,y, z), on donnait à tous les points de la section à l'origine la température constante o. On voit clairement, et sans aucun calcul, que dans ce dernier cas l'état du solide changerait continuellement, et que la chaleur primitive qu'il renferme se dissiperait peu-à-peu dans l'air, et dans la masse froide qui maintient l'extrémité à la température o. Ce résultat dépend de la forme de la fonction <J> (x,y, z) 9 qui devient nulle lorsque x a une valeur infinie comme la question le suppose.

Un effet semblable aurait lieu si les températures initiales,

4oa THÉORIE DE LA CHALEUR.

au lieu d'être h- (x, y, z) , étaient — z) pour tous les points intérieurs du prisme; pourvu que la section à l'origine fût toujours retenue à la température o. Dans l'un et l'autre cas, les températures initiales se rapprocheraient continuellement de la température constante du milieu qui est zéro; et les températures finales seraient toutes nulles.

Ces principes étant posés , considérons le mouvement de la chaleur dans deux prismes parfaitement égaux à celui qui est l'objet de la question. Pour le premier solide , nous supposons que les températures initiales sont -+- (x>y> 2), et que l'origine A conserve la température fixe 1. Pour le second solide, nous supposons que les températures initiales sont — $(x>y> z)i et qu'à l'origine A tous les points de la section sont retenus à la température o. Il est manifeste que dans le premier prisme le système des températures ne peut point changer, et que dans le second ce système varie continuellement jusqu'à ce que toutes les températures deviennent nulles.

Si maintenant on fait coïncider dans le même solide ces deux états différents ; le mouvement de la chaleur s'opérera librement, comme si chaque système existait seul. Dans l'état initial formé des deux systèmes réunis , chaque point du solide aura une température nulle , excepté les points de la section A dont la température sera 1 , ce qui est conforme à l'hypothèse. Ensuite les températures du second système changeront de plus en plus , et s'évanouiront entièrement , pendant que celles du premier se conserveront sans aucun changement. Donc , après un temps infini , le système permanent des températures sera celui que représente l'équation