CHAPITRE VII. 4o

(E), ou v=ty(x,y,z). Il faut remarquer que cette conséquence dépend de la condition relative à 1 état initial ; on la déduira toutes les fois que la chaleur initiale contenue dans le prisme est tellement distribuée, qu'elle s'évanouirait entièrement , si l'on retenait l'extrémité A la température o.

Nous ajouterons diverses remarques à la solution précédante; i° il est facile de connaître la nature de l'équation

c tang. «=^-> il suffit de supposer (voyez fig. i5) que l'on

ait construit la courbe a=etang. e, l'arc e étant pris pour abscisse , et u pour ordonnée. Cette ligne est composée de branches asymptotiques. Les abscisses qui correspondent

i 3 5 7 ii •

aux asymptotes , sont - - w, - tt, j * etc. : celles qui correspondent aux points d'intersection sont : u, 2r,3ir,etc. Si maintenant on élève à l'origine une ordonnée égale à la

quantité connue ^p, et que par son extrémité on mène une

parallèle à l'axe des abscisses, les points d'intersection don-

neront les racines de l'équation proposée e tang. e=-7-. La

construction indique les limites entre lesquelles chaque racine est placée. Nous ne nous arrêterons point aux procédés de calcul qu'il faut employer pour déterminer les valeurs des racines. Les recherches de ce genre ne présentent aucune difficulté.

2° On conclut facilement de l'équation générale (E), que plus la valeur de x devient grande, plus le terme de la valeur de v, dans lequel se trouve la fraction e x^ n**~n* ,

4o4 THEORIE DE LA CHALEUR.

devient grand par rapport à chacun des suivants. En effet ,

/», Th »4 etc. étant des quantités positives croissantes ,

la fraction e est la plus grande de toutes les frac-

tions analogues qui entrent dans les termes subséquents.

Supposons maintenant que Ton puisse observer la température d'un point de l'axe du prisme situé à une distance x extrêmement grande , et la température d'un point de cet axe situé à la distance x 4- i , i étant l'unité de mesure ; on aura alors y =0, s =0, et le rapport de la seconde température à la première sera sensiblement égal à la fraction

e . Cette valeur du rapport des températures des

deux points de l'axe est d'autant plus exacte, que la distance x est plus grande.

Il suit de là que si l'on marquait sur l'axe des points dont chacun fût distant du précédent de l'unité de mesure, le rapport de la température d'un point à celle du point qui précède , convergerait continuellement vers la fraction e~*Vtt. ainsi les ^përatures des points placës a ^

tances égales finissent par décroître en progression géométrique. Cette loi aura toujours lieu, quelle que 6oit l'épaisseur de la barre, pourvu que l'on considère des points situés à une grande distance du foyer de chaleur.

Il est facile de voir , au moyen de la construction , que si la quantité appelée / qui est la demi - épaisseur du prisme, est fort petite , n, a une valeur beaucoup plus petite que n, ,

ou ns etc. ; il en résulte que la première fraction f**^/**? est beaucoup plus grande qu'aucune des fractions analogues. Ainsi, dans le cas où l'épaisseur de la barre est très- petite,

CHAPITRE Vllt . 4o5 il n'est pas nécessaire de s'éloigner de la source de la chaleur pour que les températures des pointe également distants décroissent en progression géométrique. Cette loi règne alors dau6 toute l'étendue de la barre.

Si la demi -épaisseur / est une très-petite quantité, la valeur générale de v se réduit au premier terme qui contient

e x^2n' 0 Ainai la .fonction v qia exprime la lempecature d'un point à<m\ les coordonnées «ont 4-, y et*, est donnée dan» ce cas par fcqrtation i f y..

f A. sin.nl \* — xY/^Tn?

v = ( — -s— — : >) . cos. «r. cos. nz e

\ 2 nl-\-sm. 2 ni J * .

l'arc e ou «devient extnemepaenjt petit, connue ;W le voit par la construction. L'équation x tfcng. i—\ J*e *éduitalbrs

à V = | /; la première valeur de e ou e, est J &

pection de la figure , on connaît les valeurs des autres racines , en sorte que les quantités e, *, e3 e4 «; etc. sont les Suivantes y/ -i,ir,2z,3ir,4^etc.L£s valeurs de n./^Wj/^/ijetç.

sont donc -~ \/\ , ^, ^f, etc. ; on en conclut comme

on Ta dit plus haut, que si / est une très-petite quantité, la première valeur n est incomparablement plus grande que toutes les autres, et que Ton doit omettre dans la' valeur générale de v, tous les termes qui suivent le premier. Si maintenant on substitue dans ce premier terme la valeur trouvée pour n, en remarquant que l'arc ni et J'arc 2 ni sont egauK à leurs sinus, on aura

4o6 THÉORIE DE LA CHALEUR.

le facteur \/? ^ entre *ous *e s'Sne cosinus étant trèspetit, il s'ensuit que la température varie très -peu, pour les différente points dune même section , lorsque la demiépaisseur l est très- petite. Ce résultat est pour ainsi dire évident de lui-même : mais il est utile de remarquer comment il est expliqué par le calcul. La solution générale se réduit en effet à un seul terme, à raison de la ténuité de la barre, et Ton a en remplaçant par l'unité les cosinus d'arcs extrê-

mement petits v=e V kl, équation qui exprime dans le cas dont il s'agit les températures stationnaires.

On avait trouvé cette même équation précédemment, article 76 , page 65 ; on l'obtient ici par une analyse entièrement différente.

La solution précédente fait connaître en quoi consiste le mouvement de la chaleur dans l'intérieur du solide. Il est facile de voir que lorsque le prisme a acquis, dans tous ses points , les températures stationnaires que nous considérons, il existe dans chaque section perpendiculaire à l'axe, un flux constant de chaleur qui se porte vers l'extrémité non échauffée. Pour déterminer la quantité de ce flux qui répond à une abscisse x. Il faut considérer que celle qui traverse pendant l'unité de temps , un élément de la section , est égale au produit du coefficient k, de l'aire dy dz, de l'élément d t, et du

rapport j~ pris avec un signe contraire. Il faudra donc pren-