CHAPITRE

mais celle du plan supérieur ne pouvant, d'après l'hypothèse, être plus grande que&, la chaleur se dissipera dans la masse plus froide dont le contact retient le plan B à la température constante b. Le système des températures tendra de plus en plus à un état final qu'il ne pourra jamais atteindre, mais qui aurait, comme on va le prouver, la propriété de subsister lui-même et de se conserver sans aucun changement s'il était une fois formé.

Dans cet état final et fixe que nous considérons, la température permanente d'un point du solide est évidemment la même pour tous les points d'une même section parallèle à la base ; et nous allons démontrer que cette température fixe, qui est commune à tous les points d'une section intermédiaire décroit en progression arithmétique depuis la base jusqu'au plan supérieur, c'est-à-dire, qu'en représentant les températures constantes a et b par les ordonnées A a et B p, {Voy>fig> 1)7 élevées perpendiculairement sur la distance AB des deux plans , les températures fixes des couches intermédiaires seront représentées par les ordonnées de la droite AB, qui joint les extrémités a et p; ainsi, en désignant par z la hauteur d'une section intermédiaire ou la distance perpendiculaire au plan A, par e la hauteur totale ou la distance AB, et par v la température de la section dont la hauteur est z,

on doit avoir l'équation v=a z.

En effet , si les températures étaient établies d'abord suivant cette loi , et si les surfaces extrêmes A et B étaient toujours retenues aux températures a et b, il ne pourrait survenir aucun changement dans l'état du solide. Pour s'en convaincre, il suffira de comparer la quantité de chaleur qui

traverserait une section intermédiaire A' à celle qui , pendant le même temps , traverserait une autre section B'.

En se représentant que l'état final du solide est formé et subsistant, on voit que la partie de la masse qui est au-dessous du plan A' doit communiquer de la chaleur à la partie qui est au - dessus de ce plan , puisque cette seconde partie est moins échauffée que la première.

Imaginons que deux points du solide m et m , extrêmement voisins l'un de l'autre , et placés d'une manière quelconque, l'un m au-dessous du plan A', et l'autre m au-desstis de ce plan , exercent leur action pendant un instant infiniment petit : le point le plus échauffé m communiquera à m une certaine quantité de chaleur qui traversera ce plan A'. Soient x, y, z, les coordonnées rectangulaires du point m, et x , y , z , les coordonnées du point m ; considérons encore deux points n et /*' extrêmement voisins l'un de l'autre, et placés, par rapport au plan B', de même que m et m sont placés par rapport au plan A': c'est-à-dire, qu'en désignant par l la distance perpendiculaire des deux sections A' et B', les coordonnées du point n seront x, y, z-{- Ç, et celles du point ri seront x',f, z' + Ç; les deux distances mm' et nri seront égales ; de plus, la différence de la température v du point m à la température v du point m sera la même que la différence des températures des deux points n et ri. En effet, cette première différence se déterminera en substituant z et

ensuite z dans l'équation générale v=a -\- ^-j^ z, et retranchant la seconde équation de la première , on en conclura t> — v'= (z — z). On trouvera ensuite, par les substitu-