CHAPITRE I. 5i

venait à changer, les autres demeurant les mêmes. Supposons nn second solide, formé de la même substance que le premier, et compris entre deux plans parallèles infinis, dont la distance perpendiculaire est e; {î'oy-fig- a) la hase inférieure est entretenue à la température fixe à ', et la base supérieure, à la température fixe b' : l'un et l'autre solides sont considérés dans cet état final et permanent qui a la propriété de se conserver lui - même dès qu'il est formé. Ainsi la loi des températures est exprimée , pour le premier corps , par l'équation

v=.a-\ — z, et pour le second, par l'équation u=d +

— z, v étant dans le premier solide, et w dans le second, la

température de la section dont z est la hauteur.

Cela posé , on comparera la quantité de chaleur qui , pendant l'unité de temps, traverse une étendue égale à l'unité de surface prise sur une section intermédiaire L du premier solide, à celle qui, pendant le même temps, traverse une égale étendue prise sur la section L' du second, * étant la hauteur commune de ces deux sections, c'est-à-dire, la distance de chacune d'elles à la base inférieure. On considérera dans le premier corps deux points n et ri extrêmement voisins, et dont l'un n est au-dessous du plan L, et l'autre ri au-dessus de ce plan : x, r, z, sont les coordonnées de n ; et X > y y z, les coordonnées de ri , e étant moindre que z, et plus grand que z.

On considérera aussi dans le second solide l'action instantanée de deux points p et p , qui sont placés, par rapport à la section L', de même que les points n et. ri par rapporta la section L du premier solide. Ainsi , les mêmes coordon-

5a THÉORIE DE LA CHALEUR.

nées x, y, z, et x , y , z, rapportées à trois axes rectangulaires dans le second corps, fixeront aussi la position des points p et p.

Or, la distance du point n au point ri est égale à la distance du point p au point /?', et comme les deux corps sont formés de la même substance, on en conclut, suivant le principe de la communication de la chaleur, que l'action de n sur ri, ou la quantité de chaleur donnée par n à ri, et l'action de p sur p, ont entre elles le même rapport que les différences de températures v — v et u — ri.

En substituant v, et ensuite v dans l'équation qui convient

au premier solide, et retranchant on trouve v — **'= (~"7"~) (z — z'), on a aussi, au moyen de la seconde équation, u — u'=Çj^j^ (z — z), donc le rapport des deux actions

dont il s'agit est celui de a-^- à ° ~h >

On peut concevoir maintenant plusieurs autres systèmes de deux molécules dont la première envoie à la seconde à travers le plan L, une certaine quantité de chaleur, et chacun de ces systèmes, choisi dans le premier solide, pouvant être comparé à un système homologue placé dans le second, et dont l'action s'exerce à travers la section L', on appliquera encore le raisonnement précédent pour prouver que le rap-

port des deux actions est toujours celui de — — à — —, — •

Or, la quantité totale de chaleur qui, pendant un instant, traverse la section L, résulte de l'action simultanée d'une multitude de systèmes dont chacun est formé de deux points; donc cette quantité de chaleur et celle qui, dans le

CHAPITRE I. 53 second solide, traverse pendant le même instant la section L' , ont aussi entre elles le rapport de à a ~b '.

Il est donc facile de comparer entre elles l'intensité des flux constants de chaleur qui se propagent uniforme'ment dans l'un et l'autre solides, c'est-à-dire les quantités de chaleur qui, pendant l'unité de temps, traversent l'unité de surface dans chacun de ces corps. Le rapport de ces deux intensités est celui des deux quotients et a ~h ♦ Si les deux

quotients sont égaux, les flux sont les mêmes, quelles que soient d'ailleurs les valeurs a, b, e; a', b', e' ; en général, en désignant par F le premier flux, et par F le second , on aura

F fti — b\ fa'—b'\

Supposons que, dans le second solide, la température permanente d du plan inférieur soit celle de l'eau bouillante i ; que la température b du plan supérieur soit celle de la glace fondante o ; que la distance é des deux plans soit l'unité de mesure (un mètre) ; désignons par K le flux constant de chaleur qui, pendant l'unité de temps (une minute), traverserait l'unité de surface dans ce dernier solide, s'il était formé d'une substance donnée ; K exprimant un certain nombre d'unités de chaleur, c'est-à-dire un certain nombre de fois la chaleur nécessaire pour convertir en eau un kilogramme de glace : on aura, en général , pour déterminer le flux constant F, dans un solide formé de cette même substance, l'équation

La valeur de F est celle de la quantité de chaleur qui ,

Si l'on supposait que l'action d'un point de la masse pût s'étendre jusqu'à une distance finie e, il faudrait que l'épaisseur des tranches extrêmes , dont l'état est maintenu par la cause extérieure, fut au moins égale à «. Mais la quantité s n'ayant en effet, dans l'état naturel des solides, qu'une valeur inappréciable, on doit faire abstraction de cette épaisseur ; et il suffit que la cause extérieure agisse sur chacune des deux couches, extrêmement petites, qui terminent le solide. C'est toujours ce que l'on doit entendre par cette expression , entretenir la température constante de la surface.

Nous allons encore examiner le cas où le même solide serait exposé, par l'une de ses faces, à l'air atmosphérique entretenu à une température constante.

Supposons donc que ce plan inférieur conserve, en vertu d'une cause extérieure quelconque, la température fixe a, et que le plan supérieur, au lieu d'être retenu, comme précédemment, à une température moindre b, est exposé à l'air atmosphérique maintenu à cette température b , la distance perpendiculaire des deux plans étant toujours désignée par e : il s'agit de déterminer les températures finales.

En supposant que, dans l'état initial du solide, la température commune de ses molécules est b ou moindre que b, on se représente facilement que la chaleur qui sort incessamment du foyer A pénètre la masse r et élève de plus en plus les températures des sections intermédiaires; la surface supérieure s'échauffe successivement, et elle laisse échapper dans l'air une partie de la chaleur qui a pénétré le solide. Le système des températures s'approche continuellement d'un dernier état qui subsisterait de lui-même s'il était d'abord