CHAPITRE I

formé ; dans cet état final , qui est celui que nous considérons, la température du plan B a une valeur fixe, mais inconnue, que nous désignerons par p , et comme le plan inférieur A conserve aussi une température permanente a, le système des températures est représenté par l'équation générale

v=.a H- §^-z, v désignant toujours la température fixe de

la section dont la hauteur est z. La quantité de chaleur qui s écoule pendant l'unité de temps, à travers une surface égale à l'unité et prise sur une section quelconque , est

k a~$ f £ désignant la conducibilité propre.

Il faut considérer maintenant que la surface supérieure B , dont la température est p , laisse échapper dans l'air une certaine quantité de chaleur qui doit être précisément égale à celle qui traverse une section quelconque L du solide. S'il n'en était pas ainsi, la partie de la masse qui est comprise entre cette section L et le plan B ne recevrait point une quantité de chaleur égale à celle qu'elle perd ; donc elle ne conserverait point son état , ce qui est contre l'hypothèse ; donc le (lux constant de la surface est égal à celui qui traverse le solide : or, la quantité de chaleur qui sort, pendant l'unité de temps, de l'unité de surface prise sur le plan B, est exprimée par h (p — b) ; b étant la température fixe de l'air, et h la mesure de la conducibilité de la surface B, on

doit donc former l'équation k^—^- — h (p — qui fera connaître la valeur de p.

On en déduit a-~$ = fie("~*\ équation dont le second

membre est connu ; car les températures a et b sont données ainsi que les quantités h, k, e.

En mettant cette valeur de a — p dans 1 équation générale

v=a -t- z, on aura, pour exprimer les températures

de toutes les sections du solide, l'équation a — 9=h?£*~*)

dans laquelle il n'entre que des quantités connues et les variables correspondantes v et z.

Nous avons déterminé jusqu'ici l'état final et permanent des températures dans un solide compris entre deux surfaces planes , infinies et parallèles , entretenues à des températures inégales. Ce premier cas est, à proprement parler, celui de la propagation linéaire et uniforme, car il n'y a point de transport de chaleur dans le plan parallèle aux bases; celle qui traverse le solide s'écoule uniformément, puisque la valeur du flux est la même pour'tous les instants et pour toutes les sections.

Nous allons rappeler les trois propositions principales qui résultent de l'examen de cette questiou ; elles sont susceptibles d'un grand nombre d'applications, et forment les premiers éléments de notre théorie.

i° Si l'on élève aux deux extrémités de la hauteur e du solide deux perpendiculaires qui représentent les températures a et b des deux bases, et si l'on mène une droite qui joigne les extrémités de ces deux premières ordonnées, toutes les températures intermédiaires seront proportionnelles aux ordonnées de cette droite; elles sont exprimées par lequa-