CHAPITRE IX. 1 47i

La température variable v d'un point d'une ligne infinie est exprimée par l'équation

x désigne la distance entre un point fixe o,et le point m, dont la température équivaut à v après le temps écoulé t. On suppose que la chaleur ne peut se dissiper par la surface extérieure de la barre infinie , et l'état initial de cette barre est exprimé par l'équation v==fx. L'équation différentielle à laquelle la valeur de v doit satisfaire est celle-ci :

-di=Ô^'dl^ W

Mais pour simplifier le calcul, on écrit ^=^-^ (b) ; Ce qui suppose que l'on emploie au lieu de t une autre indéterminée t égal à

Si dans une fonction de x et de constantes f x on substitue x + 2 n\/~t à x, et si, après avoir multiplié par

, on intègre par rapport à n entre des limites

infinies, l'expression -ç^ jdne ~n f(x+zn\/~t) satisfera,

comme on l'a démontré plus haut, à l'équation différentielle (b) ; c'est-à-dire que cette expression a la propriété de donner une même valeur pour la fluxion seconde par rapport à a;, et pour la fluxion première par rapport à t. D'après cela il est évident qu'une fonction de trois variables

47o THEORIE DK 1

SECTION n

Du mouvement libre de la <

I j' intégrale de l'équari immédiatement celle de IV

dv K /

comme nous l'avons d<:

de la propagation de h pour cela qu'il suffit • diffusion dans le cas li leurs dimensions iniii continuellement trot au milieu élastique propres à l'analyse, ture ne doit pas s< rences partielles et à des conditions <\ Dans ce cas l'intégr et il faut examine r pour passer du ca> trois coordonnées o n'est point intérims'oppose à la libre <.

meut de la même m

CHAPITRE IX. 473 x,y,z à une température initiale égale à la valeur de la fonction donnée F(x,y,z). On peut se représenter que la chaleur initiale est contenue dans une certaine partie de la masse dont le premier état est donné au moyen de l'équation v=F(x, y, z), et que tous les autres points ont une température initiale nulle. Il s'agit de connaître quel sera, après un temps donné, le système des températures. II faut par conséquent exprimer la température variable ^ par une fonction 9(x>X> z> t) qui doit satisfaire à l'équation générale (A) et à la condition ?{x,y,z,o)=F(xty,z). Or la valeur de cette fonction est donnée par l'intégrale

v^-'Jdnjdpfdq F(x+nnU-}).

En effet, cette fonction v satisfait à l'équation (A), et si l'on y fait *=o, on trouve

ou, en achevant les intégrations, F(x, y, z).

Puisque la fonction v ou <p(x,y,z, t) représente l'état initial lorsqu'on y fait t—of et qu'elle satisfait à l'équation différentielle de la propagation de la chaleur, elle représente aussi l'état du solide qui a lieu au commencement du second instant, et en faisant varier le second état, on en conclut que la même fonction représente le troisième état du solide, et tous les états subséquens. Ainsi la valeur de v, que Ton vient de déterminer, contenant une fonction entièrement arbitraire des trois variables x,y, z donne la solution * 60

de la question; et l'on ne peut supposer qu'il y ait une expression plus géne'rale, quoique d'ailleurs la même intégrale puisse être mise sous des formes très-diverses. Au lieu d'employer l'équation

v—^-J dq e~q /(*-»- 2^1/7),

On pourrait donner une autre forme à l'intégrale de l'équation ^=^-s et il serait toujours facile d'en déduire l'in-

dt dx*' J

tégrale qui convient au cas des trois dimensions. Le résultat que l'on obtiendrait serait nécessairement le même que le précédent.

Pour donner un exemple de ce calcul nous ferons usage de la valeur particulière qui nous a servi à former l'intégrale exponentielle.

Reprenant donc l'équation ^J=^p nous don-

nerons à v la valeur très- simple e cos. n x, qui satisfait évidemment à l'équation différentielle (b). En effet, on dv , . d1 v

Tt=-nvetdï

en tire ^= — n'v et^ = — n*v. Donc l'intégrale

— n%t an e cos. nx

convient aussi à l'équation (b); car cette valeur de v est formée de la somme d'une infinité de valeurs particulières. Or, l'intégrale