CHAPITRE IX
dn e " ' cos. n x
est connue, et Ton sait quelle équivaut à y ( Voyex
l'article suivant.) Cette dernière fonction de x et t convient donc aussi avec l'équation différentielle (b). Il est d'ailleurs très -facile de reconnaître immédiatement que la valeur par-
ticukère satisfait à l'équation dont il s'agit.
Ce même résultat aura lieu si l'on remplace la variable x par x — a, a étant une constante quelconque. On peut donc
employer comme valeur particulière la fonction — , dans laquelle on attribue à a une valeur quelconque. Par consë-
quentlasomme^rfa fa. ~~ç?=t — satisfait aussi à l'équation
différentielle (b) ; car cette somme se compose d'une infinité de valeurs particulières de la même forme, multipliées par des constantes arbitraires. Donc on peut prendre pour valeur de v dans l'équation ^=^J celle-ci:
v= J du /a.
A étant un coefficient constant. Si dans cette dernière intégrale on suppose ^x ^ =q\ en faisant aussi A=^-p=, on
aura vz=J d*f*. e {i)
ou v = -£=jdqe~qf{x + *q\/~t). (t) On voit par -là comment l'emploi des valeurs particulières
e cos. «a1 ou — ^
Vf
conduit à l'intégrale sous forme finie.
La relation qu'ont entre elles ces deux valeurs particulières, se découvre lorsqu'on détermine l'intégrale
j dn e~~£ * cos. nx.
Pour effectuer l'intégration, on pourrait développer le facteur cos. n x, et intégrer par rapport à n. On obtient ainsi une série qui représente un développement connu; mais on déduit plus facilement ce résultat de l'analyse suivante.
L'intégrale j dn e~~n * cos. «a: se rapporte à celle-ci:
y dp e~~p cos. npu; en supposant ntt=p1 et nx=npu. On a ainsi
^t* e cos. nx=-ç^l dp e F cos. 2/>a.
On écrira maintenant
. -raie générale de la proposée conduit à cette intégrale doit I supplique aux cas les plus ■ •«■ment utile lorsque l'intégrale doit relatives à la surface. En Texamionnaitra que les transformations lique'es par la nature physique de M.ssi, dans l'équation (y), changer
• MMl
7; p'> Ajf = t>
w second membre par un coefficient
Us entre les limites — -et + ■-. et
1 maître l'état initial, on trouvera
Ainsi, en représentant les tempe-
s par ¥(x, y, z), et donnant à la
— , on parviendra à l'intégrale
Je l'article P72).
Au reste la valeur particulière e&t assez simple pour qu'elle se présente immédiatement sans qu'il soit nécessaire
de la déduire de celle-ci e n *cos./i#.Quoi qu'il en soit,
il est certain que la fonction -^=- satisfait à l'équation différentielle î M en est <k même par conséquent de
ut uX
la fonction -■ i quelle <Iue la quantité «.
Pour passer au cas des trois dimensions, il suffit de mu)-
tiplier la fonction en x et t, — ^ — par deux autres fonctions semblables l'une en y et t; le produit doit évidemment satisfaire à l'équation ~ = ^r + ~*~1ÎP' ^ prendra donc pour u la valeur ainsi exprimée
— Çr—P)' — (*-• y)1 e 4' * 4' ,4'
V=— 7? Tt""
Si maintenant on multiplie le second membre par d*,d&, dy, et par une fonction quelconque /(a,p,-y) des quantités on trouvera, en indiquant l'intégration, une valeur de v formée de la somme d'une infinité de valeurs particulières multipliées par des constantes arbitraires. Il suit de là que la fonction v peut être ainsi exprimée :
