CHAPITRE IX

Le facteur f d a j d $ J'dy /iai^tf) représente la quantité

totale de chaleur B que le solide contient. Ainsi le système des températures ne dépend point de la distribution de la chaleur initiale, mais seulement de sa quantité. On pourrait supposer que toute la chaleur initiale était contenue dans un seul élément prismatique placé à l'origine, et dont les dimensions orthogonales et extrêmement petites seraient u,,»,,^. La température initiale de cet élément serait désignée par un nombre extrêmement grand f, et toutes les autres molécules du solide auraient une température initiale nulle. Le produit w, w, tùif équivaut dans ce cas à l'intégrale

Quelque soit réchauffement initial , l'état du solide qui correspond à une valeur du temps très- grande , est le même que si toute la chaleur avait été réunie dans un seul élément placé à l'origine.

Supposons maintenant que l'on ne considère que les points du solide dont la distance à l'origine est très-grande par rapport aux dimensions de la partie échauffée; on pourrait d'abord penser que cette condition suffit pour réduire l'exposant de e dans l'intégrale générale. En effet cet exposant est — ^g x^ ~**^~^ " ^ ^; et les variables

a, P, y sont, par hypothèse, comprises entre des limites déterminées , en sorte que leurs valeurs sont toujours extrêmement petites, par rapport à la plus grande coordonnée d'un point très-éloigné de ['origine. Il suit de là que l'exposant de e se compose de deux parties M + (*, dont l une est

fyu THÉORIE DE LA CHALEUR.

très- petite par rapport à l'autre. Mais de ce que le rapport

£ est une très-petite fraction , on ne peut pas conclure que

l'exponentielle <?M"l"|i' devienne égale à e ,ou n'en diffère que d'une quantité très - petite par rapport à sa propre valeur. Il ne faut point considérer les valeurs, relatives de M et {x , mais seulement la valeur absolue de j*. Pour que l'on puisse réduire l'intégrale exacte (y) à l'équation

il est nécessaire que la quantité

aqx-t- aft^-f-ajz — et' — g' — y*

dont la dimension est o , soit toujours un nombre fort petit Si l'on suppose que la distance de l'origine au point m dont on veut déterminer la température est très -grande par rapport à l'étendue de la partie qui a été d'abord échauffée, on examinera si la quantité précédente est toujours une très -petite fraction u>. Il faut que cette condition soit satisfaite , pour que l'on puisse employer l'inté-

grale approchée v — B 2 ~J ir~"' li~ * t~*ei kt : mais cette équation ne représente point l'état variable de la partie de la masse qui est très-distante du foyer. Elle donne au contraire un résultat d'autant moins exact, toutes choses d'ail-