CHAPITRE IX

Il suit de cet examen que l'on ne doit point conclure de

l'intégrale v = 2^^ ^ fda/ae 4" que la loi

de la distribution primitive n'influe pas sur la température des points très-éloignés de l'origine. L'effet résultant de cette distribution cesse bientôt d'avoir lieu pour les points voisins de la portion échauffée ; c'est-à-dire que leur température ne dépend plus que de la quantité de chaleur initiale , et non de la répartition qui en avait été faite : mais la grandeur de la distance ne concourt point à effacer l'empreinte de la distribution , elle la conserve au contraire pendant un très -long temps et retarde la diffusion de la chaleur. Ainsi l'équation

ne représente les températures des points extrêmement éloignés de la partie échauffée , qu'après un temps immense. Si on l'appliquait sans cette condition , on trouverait des résultats doubles ou triples des véritables ou même incomparablement plus grands ou plus petits ; et cela n'aurait pas lieu seulement pour des valeurs très-petites du temps ; mais pour de grandes valeurs, telles que, une heure, un jour, une année. Enfin cette expression serait d'autant moins exacte, toutes choses égales d'ailleurs, que les points seraient plus éloignés de la partie primitivement échauffée.

49o THÉORIE DE LA CHALEUR.

Lorsque la diffusion de la chaleur s'opère dans tous les sens , l'état du solide est représenté comme on l'a vu par l'intégrale

Si la chaleur initiale est contenue dans une portion déterminée de la masse solide , on connaîtra les limites qui comprennent cette partie échauffée, et les quantités «T p , y , qui varient sous le signe intégral, ne pourront point recevoir de valeurs qui excèdent ces limites. Supposons donc que l'on marque sur les trois axes six points dont les distances sont + X, + Y, Z , et — X , — Y, — Z , et que l'on considère les états successifs du solide compris entre les six plans qui passent à ces distances ; on voit que l'exposant de

e, sous le signe d'intégration, se réduit à — (^~~^ATr~~)' lorsque la valeur du temps écoulé augmente sans borne. En effet, les termes tels que et j-ft reÇ°ivent dans <*

cas des valeurs absolues très-petites , parce que les numérateurs sont compris entre des limites fixes, et que les dénominateurs croissent à l'infini. Ainsi les facteurs que l'on omet diffèrent extrêmement peu de l'unité. Donc l'état variable du solide, après une grande valeur du temps, a pour expression