CHAPITRE IX. 54i et que l'on substitue, pour «, 0, rfp, leurs valeurs

on aura cette autre forme de l'intégrale

di sin. + v") > (:r-t-2|il//, /+2vl/7, ) + W.

Nous ne pourrions multiplier davantage ces applications de nos formules, sans nous écarter de notre sujet principal. Les exemples précédents se rapportent à des phénomènes physiques dont les lois étaient inconnues et difficiles à découvrir ; et nous les avons choisis parce que les intégrales de ces équations, qne Ton avait inutilement cherchées jusqu'ici, ont une analogie remarquable avec celles qui expriment le mouvement de la chaleur.

On peut aussi, dans la recherche des intégrales, considérer d'abord les séries développées selon les puissances d'une variable , et sommer ces séries au moyen des théorèmes exprimés par les équations (B), (BB). Voici un exemple de cette analyse, choisi dans la théorie même de la chaleur, et qui nous a paru remarquable.

On a vu , art. 399 , que la valeur générale de v, déduite de l'équation

dt—d^1 (a)

développée en série, selon les puissances croissantes de la variable t, contient une seule fonction arbitraire de x; et qu étant développée en série selon les puissances croissantes de x, elle contient deux fonctions entièrement arbitraires de t.

54a THÉORIE DE LA CHALEUR.

La première se'rie est ainsi exprimée : </' r d* e d'

L'intégrale désignée par (p), art. 397, ou

v=-^j*d* ça jdp e ? * cos. (px —

représente la somme de cette série, et contient la seule fonction arbitraire ox.

La valeur de v, développée selon les puissances de x, contient deux fonctions arbitraires ft et Ft, et est ainsi exprimée :

+*F< + é£F< +dfb^F< +Î3T5^ £F< (S;

Il y a donc, indépendamment de 1 équation (p), une autre forme de l'intégrale qui représente la somme de cette dernière série, et qui contient deux fonctions arbitraires,// et F t. Il s'agit de découvrir cette seconde intégrale de l'équation proposée, qui ne peut être plus générale que la précédente (p), mais qui contient deux fonctions arbitraires.

Ou y parviendra en sommant chacune des deux séries qui entrent dans l'équation (X). Or il est évident que si l'on coq» naissait en fonction de x et t la somme de la première série qui contient ft, il faudrait, après l'avoir multipliée par dx, prendre l'intégrale par rapport à .r, et changer ft en F t. On trouverait ainsi la seconde série. De plus, il suffirait de connaître Ta somme des termes impairs qui entrent dans la première série : car , en désignant cette somme par ^ , et la

CHAPITRE IX. 543 somme de tous les autres termes par v , on a évidemment

dx

>=fd*fa

Il reste donc à trouver la valeur de p. Or la fonction ft peut être ainsi exprimée , au moyen de l'équation générale(B),

f^-h fd*S* f dP **• (P*-~P*)- (B) I) est facile d'en déduire les valeurs des fonctions

7?f'> d?ft> dW> etc Il est évident que la différentiation se réduit à écrire dans le second membre de l'équation (B), sous le signe jdp, les facteurs respectifs — p\ +p*, — p*, +p\ etc.

On aura donc, en écrivant une seule fois le facteur commun cos. (pt —

P=-hfd*f* fdP cos- (Pt—P*)

V1 a. 3. 44" 2.3.4.5.6.7.8 a. 3 xa + etC'A

Ainsi la question consiste à trouver la somme de la série qui entre dans le second membre , ce qui ne présente aucune difficulté. En effet, soit / la valeur de cette série, on en conclut

Intégrant cette équation linéaire , et déterminant les constantes arbitraires, en sorte que, a? étant nulle, y soit 1 ,

et^, soient nulles, on trouve, pour la somme

dx ' dx% 1 a*

de la série ,

y= Çef^+e^*^) cos. (x^).

Il serait inutile de rapporter le détail de ce calcul ; il suffit d'en énoncer le résultat, qui donne pour l'intégrale cherchée ,

ijdafajdq.q |cos.(2£'f— a) (eq* + e ~?x)cos.?x

— sin.^f'^) (eqx— e~"?x)sin.£*j + W. ^

Le terme W est la seconde partie de l'intégrale ; on le forme en intégrant la première partie par rapport à x, depuis x=o jusqu'à x=x, et en changeant/ en F. Sous cette forme l'intégrale contient deux fonctions entièrement arbitraires, ft et F t. Si, dans la valeur de v, on suppose x nulle , le terme W devient nul par hypothèse , et la première partie u de l'intégrale devient ft. Si l'on fait la même

substitution x=o dans la valeur de ^ , il est évident que la

du dW