CHAPITRE IX

fasse à la proposée (e) et aux deux conditions suivantes, savoir, i° que la substitution de t—o dans f(x, y, t) donne une fonction arbitraire 9 (jc, y) ; que la même substitution dans ~ f\xty,t) donne une seconde fonction arbitraire

Il suit e'videmment de la forme de l'équation (c), et des principes que nous avons exposés plus haut, que la fonction v, étant déterminée en sorte qu'elle satisfasse aux conditions précédentes, sera l'intégrale complète de la proposée. Pour découvrir cette fonction on écrira d'abord

u = cos. (px) cos. (qy) cos. (»if),

d'où l'on tire

dF=-m v> dï=P v> 7*7?=* 1 ïv> d?=^v' On a donc la condition m=p* + q\ Ainsi l'on écrira

u=cos. px.cos. qy. cos. \ t.p* + q1^ ou u=cos. (p.x — et) cos. [q.y — cos. Çt.p* -hq3^ ou <v=Jd*Jd$ F (a, $)jdpjdq

cos. (px—pa) cos. (qy—q$) cos. (p't + q't). Lorsqu'on fait £=0, on doit avoir v=y(x,y); ce qui sert à déterminer la fonction F (a, p). Si l'on compare à l'équation générale (BB), on trouve que, les intégrales étant prises

entre des limites infinies, la valeur de F (a,p) est (jz) ? (<*j P)-

On aura donc, pour exprimer une première partie u de l'intégrale ,

fe* y^P?(«iP) fdP fa cos. (px—pa) cos. {qy—q$){cos.pu +

54o THÉORIE DE LA CHALEUR.

En intégrant la valeur de u par rapport k t, et <l> désignant la seconde fonction arbitraire, on trouvera une autre partie W de l'intégrale ainsi exprimée :

Si l'on fait f=o dans u et dans W, la première fonction devient égale à 9 {x,y)> et la seconde nulle; et si l'on fait

aussi £=0 dans ~« et dans W, la première fonction devient nulle, et la seconde devient égale à ty(x,y) : donc i; = «4-W est l'intégrale générale de la proposée.

On peut donner à la valeur de u une forme plus simple en effectuant les deux intégrations par rapport à p et q\ On fait usage, pour ce calcul , des deux équations ( 1 ) et (a) que nous avons démontrées dans l'art. 407 , et l'on obtient l'intégrale suivante :

u=\ P. P? ,(.,,)•£ sin.

Désignant par u cette première partie de l'intégrale,* et par W la seconde, qui doit contenir une autre fonction arbitraire, on a

W= Ç dt u et v = u + W.

Si l'on désigne par jx etv deux nouvelles indéterminées, telles que l'on ait .

a 1/7 l4' ai/7'