CHAPITRE IX

on voit quelle est très-différente de celle qui est exprimée par l équation (p), art. 397.

On peut employer des procédés de calcul très-variés , pour exprimer , en intégrales définies , les sommes des séries qui représentent les intégrales des équations différentielles. La forme de ces expressions dépend aussi des limites des intégrales définies. Nous citerons un seul exemple de ce calcul en rappelant le résultat de l'art. 3 1 1 , pag. 38o. Si, dans l'équation qui termine cet article, on écrit x-h t sin.w sous le signe de fonction 9,011a

\du<ï(x-\-ts\ii. u) = <fx + — 'QX + -z-j;-ï"'x-i t-b .•y'x+ etc.

Désignant par v la somme de la série qui forme le second membre, on voit que, pour faire disparaître dans chaque terme un des facteurs a1, 4 S 6% 8", etc. , il faut différencier une fois par rapport à f , multiplier le résultat par t, et différencier une seconde fois par rapport à /. On conclut de là que v satisfait à 1 équation aux différences partielles

d' v 1 d S dv\ d* v d* v i dv

dtV'dl ) ' 011 dx* — ~d? + ~t"dl- On a donc, pour exprimer l'intégrale de cette équation,

jdu f (x+ t sin. u) W.

La seconde partie W de l'intégrale contient une nouvelle fonction arbitraire. La forme de cette seconde partie IV de l'intégrale diffère beaucoup de celle de la première, et pourrait aussi être exprimée en intégrales définies. Les résultats

que Ton obtient au moyen des intégrales définies varient selon les procédés de calcul dont on les déduit, et selon les limites des intégrales. On peut dire, en général, que ces recherches n'Ont point un but assez déterminé lorsqu'on les sépare des questions physiques auxquelles elles se rapportent.

il est nécessaire d'examiner avec soin la nature des propositions générales qui servent à transformer les fonctions arbitraires : car l'usage de ces théorèmes est très-étendu, et l'on en déduit immédiatement la solution de plusieurs questions physiques importantes, que l'on ne pourrait traiter par aucune autre méthode. Les démonstrations suivantes , que nous avons données dans nos premières recherches, sont trèspropres à rendre sensible la vérité de ces propositions.

Dans l'équation générale