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/x=^Jda./a j^dp COS. (pa—px),

qui est la même que l'équation (B), page5a5, on peut effectuer l'intégration par rapport à pt et l'on trouve

fx=x- fd*f*.sin' »«-/»*>.

On doit donc donner à p, dans cette dernière expression, une valeur infinie; et, cela étant, le second membre exprimera la valeur àefœ. On reconnaîtra la vérité de ce résultat au moyen de la construction suivante. Nous examinerons

d'abord l'intégrale définie fdx *^?, que l'on sait être é#de à ^r, art. 3M>. °

CHAPITRE IX. 547 Si l'on construit au -dessus de l'axe des x la ligne dont l'ordonnée est sin. x, et celle dont l'ordonnée est - , et qu'ensuite on multiplie l'ordonnée de la première ligne par l'ordonnée correspondante de la seconde , on considérera le produit comme l'ordonnée d'une troisième ligne dont il est très-facile de connaître la forme.

Sa première ordonnée à l'origine est 1, et les ordonnées suivantes deviennent alternativement positives ou négatives ; la courbe coupe l'axe aux points où x=ic,2 *, 3r , 4« 1 etc. , et elle se rapproche de plus en plus de cet axe. Une seconde branche

de la courbe, entièrement semblable à la première, est située

à la gauche de l'axe des^. L'intégrale J dx*~~ est l'aire

comprise entre la courbe et Taxe des x, et comptée depuis

x=o jusqu'à une valeur positive infinie de x.

dx'—^—^i dans laquelle/? est

supposé un nombre positif quelconque , a la même valeur que la précédente. En effet, soit px—z; l'intégrale proposée

dz $J!L±f et, par conséquent, elle équivaut aussi

à Cette proposition est vraie, quel que soit le nombre positif p. Si l'on suppose, par exemple, /?= 10, la courbe dont l'ordonnée est ""' ^1°^ a des sinuosités beaucoup plus rapprochées et plus courtes que celles dont l'ordonnée est nn^x • mais l'aire totale depuis x=o jusqu'à est la même.

Supposons maintenant que le nombre p devienne de plus en plus grand , et qu'il croisse sans limite , c'est-à-dire qu'il

soit infini. Les sinuosités de la courbe dont 0*x) est l'ordonnée sont infiniment voisines. Leur base est une longueur infiniment petite égale à y Cela étant, si l'on compare l'aire positive qui repose sur un de ces intervalles j

à l'aire négative qui repose sur l'intervalle suivant, et si l'on désigne par X l'abscisse finie et assez grande qui répond au commencement du premier arc, on voit que l'abscisse x,

qui entre comme dénominateur dans l'expression de l'ordonnée , n'a aucune variation sensible dans le double intervalle — qui sert de base aux deux aires. Par conséquent,

l'intégrale est la même que si x était une quantité constante. Il s'ensuit que la somme des deux aires qui se succèdent est nulle.

Il n'en est pas de même lorsque la valeur de x est infiniment petite, parce que l'intervalle —a dans ce cas un rapport fini avec

la valeur de x. On connaît parla que l'intégrale j dxMn' >

dans laquelle on suppose p un nombre infini , est entièrement formée de la somme de ses premiers termes qui répondent à des valeurs extrêmement petites de x. Lorsque l'abscisse a une valeur finie X, l'aire ne varie plus, parce que les parties qui la composent se détruisent deux à deux alternativement. Nous exprimons ce résultat en écrivant

fdx.^^=fdx-6in^=='-,.

CHAPITRE IX. 549 La quantité o, qui désigne la limite de la seconde intégrale, a une valeur infiniment petite ; et la valeur de l'intégrale est

la même lorsque cette limite est «, et lorsqu'elle est

Cela posé , reprenons l'équation

Ayant placé Taxe des abscisses a, on tracera au-dessus de cet axe la ligne ff(Rg- VIII), dont l'ordonnée est /a. La forme de cette ligne est entièrement arbitraire; elle pourrait n'avoir d'ordonnées subsistantes que dans une ou dans quelques parties de son cours , toutes les autres ordonnées étant nulles. On placera aussi au-dessus du même axe des abscisses une

ligne courbe ss dont l'ordonnée est ÏEiî^l) t z désignant l'abscisse et p un nombre positif extrêmement grand. Le centre de cette courbe, ou le point qui répond à la plus grande ordonnée p , pourra être placé soit à l'origine o des abscisses «, soit à l'extrémité d'une abscisse quelconque. On suppose que ce centre est successivement déplacé , et qu'il se transporte à tous les points de l'axe des a, vers la droite, à partir du point o. Considérons ce qui a lieu dans une certaine position de la seconde courbe , lorsque le centre est parvenu au point x qui termine une abscisse x de la première courbe.

La valeur de x étant regardée comme constante, et a étant seule variable, l'ordonnée de la seconde courbe sera

gin, (p* — jt) a — x

Si donc on conjugue les deux courbes pour en former une

55o THÉORIE DE LA CHALEUR,

troisième, c est-à-dire si l'on multiplie chaque ordonnée de la première par l'ordonnée correspondante de la seconde, et si Ton représente le produit par l'ordonnée d'une troisième courbe tracée au-dessus de l'axe des a, ce produit sera

f sin. (/>.<»— x)

Ta. • ■ 11 »

et — x

L'aire totale de la troisième courbe , ou l'aire comprise entre cette courbe et l'axe des abscisses, sera donc exprimée par

Or, le nombre p étant infiniment grand , la seconde courbe a toutes ses sinuosités infiniment voisines; on reconnaît facilement que, pour tous les points qui sont à une distance finie du point .r, l'intégrale définie, ou l'aire totale de la troisième courbe, est formée de parties égales alternativement positives ou négatives, et qui se détruisent deux à deux. En effet , pour un de ces points placés à une certaine distance du point J7, la valeur de f* varie infiniment peu lorsqu'on augmente la distance d'une quantité moindre que * Il en est de même du dénominateur a — x, qui mesure cette

distance. L'aire qui répond à l'intervalle — - est donc la

même que si les quantités /a et a — x n'étaient pas variables. Par conséquent elle est nulle lorsque « — x est une grandeur finie. Donc l'intégrale définie peut être prise entre des limites aussi voisines que l'on veut, et elle donne, entre ces limites , le même résultat qu'entre des limites infinies. Tout se réduit donc à prendre l'intégrale entre des points infi-

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