CHAPITRE IX. 58i

cune de ces intégrales aune forme déterminée qui ne peut pas être suppléée par une autre. Il est nécessaire d'en faire usage, si Ton veut connaître la distribution de la chaleur dans le corps dont il s'agit. En général, on ne pourrait apporter aucun changement dans la forme de nos solutions, sans leur faire perdre leur caractère essentiel, qui est de représenter les phénomènes.

Ces diverses intégrales pourraient être déduites les unes des autres ; car elles ont la même étendue. Mais ces transformations exigent de longs calculs, et supposent presque toujours que la forme des résultats est connue d'avance. On peut considérer en premier lieu, des corps dont les dimensions sont finies, et passer de cette- question- à celle qui se rapporte à un solide non terminé. On substitue alors une intégrale définie à la somme désignée par le signe 2- C'est ainsi que les équations («) et fp), rapportées au commencement de cette section , dépendent l'une de l'autre. La première devient la seconde, lorsqu'on suppose le rayon R infini. On peut réciproquement déduire de cette seconde équation (p) les solutions relatives aux corps de dimensions limitées.

En général, nous avons cherché à obtenir chaque résultat par la voie la plus courte. Voici les éléments principaux de la méthode que nous avons suivie.

i° On considère à-la-fois la condition générale donnée par l'équation aux différences partielles, et toutes les conditions singulières qui déterminent entièrement la question , et l'on se propose de former l'expression analytique qui satisfait à toutes ces conditions.

a° On reconnaît d'abord que cette expression contient un

58a THÉORIE DE LA CHALEUR.

nombre indéfini de termes, où il entre des constantes inconnues, ou qu'elle équivaut à une intégrale où se trouvent une ou plusieurs fonctions arbitraires. Dans le premier cas, c'est-à-dire, lorsque le terme général est affecté du signe on déduit des conditions spéciales une équation transcendante déterminée, dont les racines donnent les valeurs d'un nombre infini de constantes.

Le second cas a lieu lorsque le terme général devient une quantité infiniment petite ; alors la somme de la série se cl ia i!ge en une intégrale définie.

3 On peut démontrer par les théorèmes fondamentaux de l'algèbre, ou même par la nature physique de la question, que l'équation transcendante a toutes ses racines réelles en nombre infini.

4° Dans les questions élémentaires, le terme général est formé de sinus ou cosinus ; les racines de l'équation déterminée sont des nombres .entiers, ou des quantités réelles et irrationnelles : chacune d'elles est comprise entre deux limites déterminées.

Dans les questions plus composées, le terme général est formé d'une fonction implicitement donnée au moyen d'une équation différentielle intégrable ou non. Quoi qu'il en soit, l'équation déterminée subsiste ; elle a toutes ses racines réelles en nombre infini. Cette distinction des parties, dont l'intégrale doit être composée, est très-importante, parce qu'elle fait connaître clairement la forme de la solution, et les relations nécessaires entre les coefficients.

5° Il reste à déterminer les seules constantes qui dépendent de l'état initial , ce qui se fait par l'élimination des inconnues dans un nombre infini d'équations du premier degré. On