CHAPITRE IX

La solution générale que donne cette équation (E) est totalement indépendante de la nature de la fonction Fa?, parce que Gette fonction ne représente ici qu'une multitude infinie de constantes arbitraires, qui répondent à autant de valeurs de x comprises entre o et X.

Si l'on supposait la chaleur primitive contenue dans une seule partie de la sphère solide, par exemple, depuis x—o jusqu'à x=7X, et que les températures initiales des couches supérieures fussent nulles, il suffirait de prendre l'intégrale

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entre les limites x=o et x=- X.

En général, la solution exprimée par l'équation (E) convient à tous les cas, et la forme du développement ne varie point selon la nature de la fonction.

Supposons maintenant qu'ayant écrit sin. x au lieu de Fx, on ait déterminé par l'intégration les coëfficiens Op et que

l'on ait formé l'équation

xsm.x=a,s\n. (p.,x) -+- tf,sin. (^x) -¥ rf3sin. {^x. . . .

-h a. sin. a . * 4- etc.

Il est certain qu'en donnant à x une valeur quelconque compris» entre o et X , le second membre de cette équation eqwvaut à xsin.x; c'est une conséquence nécessaire de notre calcul. Mais il ne s'ensuit nullement qu'en donnant à x une valeur non comprise entre o et X, la même égalité aura lieu. On voit très-distinctement le contraire dans les exemples que nous avons cités, et si l'on excepte les cas par-

58o THÉORIE DE LA CHALEUR.

se superposent en quelque sorte, et se rassemblent pour former le système généralMes températures.

C'est pour cette raison que la forme de la fonction qui représente l'état initial doit être regardée comme entièrement arbitraire. L'intégrale définie , qui entre dans l'expression de la température variable, ayant les mêmes limites que le solide échauffé , montre expressément que l'on réunit tous les effets partiels dus à réchauffement initial de chaque élément.

Nous terminerons ici cette section, dont l'objet appartient presque entièrement à l'analyse. Les intégrales que nous avons obtenues ne* sont point seulement des expressions générales qui satisfont aux équations différentielles; elles représentent de la manière la plus distincte l'effet naturel , qui est l'objet de la question. C'est cette condition principale que nous avons eu toujours en vue, et sans laquelle les résultats du calcul ne nous paraîtraient que des transformations inutiles. Lorsque cette condition est remplie, l'intégrale est, à proprement parler, l'équation du phénomène; elle en exprime clairement le caractère et le progrès, de même que l'équation finie d'une ligne ou d'une surface courbe fait connaître toutes les propriétés de ces figures. Pour découvrir ces solutions , nous ne considérons point une seule forme de l'intégrale ; nous cherchons à obtenir immédiatement celle qui est propre à la question. C'est ainsi que l'intégrale, qui exprime le mouvement de la chaleur dans une sphère d'un rayon donné, est très -différente de celle qui exprime ce mouvement dans un corps cylindrique, ou même dans une sphère d'un rayon supposé inlini. Or, cha-