CHAPITRE IX

l'équation propre du phénomène, parce qu'elle le représente distinctement dans toute 1 étendue de son cours, et quelle sert à déterminer facilement en nombre tous les résultats.

Les fonctions que l'on obtient par ces solutions sont donc composées d'une multitude de termes, soit finis, soit infiniment petits : mais la forme de ces expressions n'a rien d'arbitraire; elle est déterminée par le caractère physique du phénomène. C'est pourquoi , lorsque la valeur de la fonction est exprimée par une série où il entre des exponentielles relatives au temps, il est nécessaire que cela soit ainsi, parce que l'effet naturel dont on recherche lej lois , se décompose réellement en parties distinctes, correspondantes aux différents termes de la série. Ces parties expriment autant de mouvements simples compatibles avec les conditions spéciales; pour chacun de ces mouvements, toutes les températures décroissent en conservant leurs rapports primitifs. On ne doit pas voir dans cette composition un résultat de l'analyse dù à la seule forme linéaire des équations différentielles, mais uu effet subsistant qui devient sensible dans les expériences. Il se présente aussi dans les questions dynamiques où l'on considère les causes qui anéantissent le mouvement; mais il appartient nécessairement à toutes les questions de la théorie de la chaleur ^et il détermine la nature de la méthode que nous avons suivie pour les résoudre.

La théorie mathématique de la chaleur se forme , i ° de ht définition exacte de tous les éléments du calcul ; a° des équations différentielles ; 3° des intégrales propres aux questions fondamentales. On peut arriver aux équations par plusieurs voies; on peut aussi obtenir les mêmes intégrales, ou résoudre d'autres questions, en apportant quelque change-

ment dans la marche du calcul. Nous pensons que ces recherches ne constituent point une méthode différente de la nôtre; mais elles confirment et multiplient les résultats.

o° On avait objecté, au sujet de notre analyse, que les équations transcendantes qui déterminent les exposants, ayant des racines imaginaires, il serait nécessaire d'employer les termes qui en proviennent, et qui indiqueraient dans une partie du phénomène le caractère périodique : mais cette objection n'est point fondée, parce que les équations dont il s'agit ont en effet toutes leurs racines réelles , et qu'aucune partie du. phénomène ne peut être périodique.

io° On avait allégué que pour résoudre avec certitude les questions de ce genre, il est nécessaire de recourir dans tous les cas à une certaine forme de l'intégrale que l'on désignait comme générale; et l'on proposait, sous cette dénomination, l'équation (y) de l'article 398; mais cette distinction n'est point fondée, et l'usage d'une seule intégrale n'aurait pour effet, dans plusieurs cas, que de compliquer le calcul sans nécessité. Il est d'ailleurs évident que cette intégrale (y) se déduit de celle que nous avons donnée en 1807 pour déterminer le mouvement de la chaleur dans une armille d'un rayon déterminé R; il suffit de donner à Rune valeur infinie. ^

1 1° On a pensé que la méthode qui consiste à exprimer l'intégrale par une suite de termes exponentiels., et à déterminer les coefficients au moyen de l'état initial, ne résout point la question relative à un prisme qui perd inégalement sa chaleur par ses deux extrémités ; ou que, du moins, il serait très-difficile de vérifier ainsi la solution que l'on déduit de l'intégrale (y) par de longs calculs. On reconnaît»