CHAPITRE IX

par un nouvel examen, que notre méthode s'applique directement à cette question , et qu'il suffit même d'une seule intégration.

i a° Nous avons développé en séries de sinus d'arcs multiples des fonctions qui paraissent ne contenir que des puissances paires de la variable, par exemple, cos x. Nous avons exprimé par des suites convergentes ou en intégrales définies des parties séparées de diverses fonctions ou des fonctions discontinues entre certaines limites, par exemple, celle qui mesure l'ordonnée dans un triangle. Nos démonstrations ne laissent aucun doute sur l'exacte vérité de ces équations.

i3° On trouve dans les ouvrages de tous les géomètres des résultats et des procédés de calcul analogues à ceux que nous avons employés. Ce sont des cas particuliers d'une méthode générale qui n'était point encore formée , et qu'il devenait nécessaire d'établir pour connaître, même dans les questions les plus simples , les lois mathématiques de la distribution de la chaleur. Cette théorie exigeait une analyse qui lui est propre, et dont un élément principal est l'expression analytique des fonctions séparées, ou des parties de fonctions.

Nous entendons par fonction séparée, ou partie de fonction, une fonction f x qui a des valeurs subsistantes, lorsque la variable x est comprise entre des limites données, et dont la valeur est toujours nulle, si la variable n'est pas comprise entre ces limites. Cette fonction mesure l'ordonnée d'une ligne qui comprend un arc fini d'une forme arbitraire, et se confond avec l'axe des abeisses dans tout le reste de son cours.

Cette notion n'est point opposée aux principes généraux du calcul; on pourrait même en trouver les premiers fondements dans les écrits de Daniel Beniouilly , de Clairaut, de La Grange et d'Eulcr. Toutefois on avait regardé comme manifestement impossible d'exprimer en séries de sinus d'arcs multiples, ou du moins en séries trigonométriques convergentes, une fonct ion qui n'a de valeurs subsistantes que si celles de la variable sont comprises entre certaines limites, et dont toutes les autres valeurs seraient nulles. Mais ce point d'analyse est pleinement éclairci, et il demeure incontestable que les fonctions séparées, ou parties de fonctions, sont exactement exprimées par des séries trigonométriques convergentes, ou par des intégrales définies Nous avons insisté sur cette conséquence dès l'origine de nos recherches jusqu'à ce jour, parce qu'il ne s'agit point ici d'une question abstraite et isolée, mais d'une considération principale, intimement liée aux applications les plus utiles, et les plus étendues Rien ne nous a paru plus propre que les constructions géométriques à démontrer la vérité de ces nouveaux résultats, et à rendre sensibles les formes que l'analyse emploie pour les exprimer.

i4° Les principes qui nous ont servi à établir la théorie analytique de la chaleur, s'appliquent immédiatement à la recherche du mouvement des ondes dans les liquides dont une partie a été agitée. Ils donnent aussi celle des vibrations des lames élastiques, des surfaces flexibles tendues, des surfaces planes élastiques de très-grandes dimensions, et conviennent en général aux questions qni dépendent de la théorie de l'élasticité. Le propre des solutions que Ton déduit de ces principes est de rendre les applications numériques faciles,

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