CHAPITRE IX. 59i

On déduit aussi de cette même condition l'équation générale dont il s'agit, en déterminant la quantité totale de chaleur que chaque molécule placée à la surface reçoit et communique. Ces calculs très-composés ne changent rien à la nature de la démonstration.

Dans la recherche de l'équation différentielle du mouvement de la chaleur, on peut supposer que la masse n'est point homogène , et il est très-facile de déduire cette équation de l'expression analytique du flux ; il suffit de laisser sous le signe de la différentiation le coefficient qui mesure la conducibilité.

3° Newton a considéré le premier la loi du refroidissement des corps dans l'air: celle qu'il a admise pour le cas où l'air est emporté avec une vitesse constante , est d'autant plus conforme aux observations que la différence des températures est moindre; elle aurait lieu exactement, si cette différence était inûniment petite.

Amontons a fait une expérience remarquable sur l'établissement de la chaleur dans un prisme dont l'extrémité est assujettie à une température déterminée. La loi logarithmique du décaissement des températures dans ce prisme, a été donnée pour la première fois par Lambert , de l'Académie de Berlin. MM. Biot et de Ru m for d ont confirmé cette loi par des expériences.

Pour découvrir les équations différentielles du mouvement variable de la chaleur , et même dans le cas le plus élémentaire, comme celui du prisme cylindrique d'un très-petit rayon, il était nécessaire de connaître l'expression mathématique de la quantité de chaleur qui traverse une partie extrêmement petite du prisme. Cette quantité n'est pas seu-

5ga THÉORIE DE LA CHALEUR.

lement proportionnelle à la différence des températures des deux sections qui .terminent la tranche. On prouve de la manière la plus rigoureuse qu'elle est aussi en raison inverse de l'épaisseur de cette tranche, c'est-à-dire, que si deux tranches d'un même prisme étaient inégalement épaisses, et que pour la première, la différence des températures des deux bases fut la même que pour la seconde, les quantités de chaleur qui traversent ces tranches pendant le même instant, seraient en raison inverse des épaisseurs. Le lemme précédent ne convient pas seulement à des tranches dont l'épaisseur est infiniment petite ; il s'applique à des prismes d'une épaisseur quelconque. Cette notion du flux est fondamentale; tant qu'on ne l'a point acquise, on ne peut se former une idée exacte du phénomène et de l'équation qui l'exprime.

Il est évident que l'accroissement instantanée de la température d'un point , est proportionnel à l'excès de la quantité de chaleur que ce point a reçue, sur la quantité qu'il a perdue, et qu'une équation différentielle partielle doit exprimer ce résultat : mais la question ne consiste pas à énoncer cette proposition, qui est le fait lui-même; elle consiste à former réellement l'équation différentielle , ce qui exige que l'on considère ce fait dans ses éléments. Si au lieu d'employer l'expression exacte du flux de chaleur, on omet le dénominateur de cette expression , on fait naître par cela même une difficulté qui n'est nullement inhérente à la question ; et il n'y a aucune théorie mathématique qui n'en présentât de semblables, si l'on commençait par altérer le principe des démonstrations. NQn-seulement on ne peut former ainsi une équation différentielle : mais il n'y a rien de plu*

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