CHAPITRE IX

soient regardés comme ayant la même température, il ne s'ensuit pas que l'on puisse faire abstraction des dimensions de la section, et étendre à d'autres prismes les conséquences qui ne conviennent qu'à un seul. On ne peut point former l'équation exacte sans exprimer cette relation entre l'étendue de la section et. l'effet produit à l'extrémité du prisme.

Nous ne développerons pas davantage l'examen des principes qui nous ont conduit à la connaissance des équations différentielles ; nous ajoutons seulement que pour porter un jugement approfondi sur l'utilité de ces principes, il faut aussi considérer des questions variées et difliciles : par exemple, celle que nous allons indiquer, et dont la solution manquait à notre théorie, ainsi que nous l'avions fait remarquer depuis long-temps. Cette question consiste à former les équations différentielles, qui expriment la distribution de la chaleur dans les liquides en mouvement, lorsque toutes les molécules sont déplacées par des forces quelconques, combinées avec les changements de température. Ces équations que nous àvons données dans le cours de l'année 1820, appartiennent à l'hydrodynamique générale; elles complètent cette branche de la mécanique analytique.

Les différents corps jouissent très -inégalement de cette propriété que les physiciens ont appelée conductibilité ou conducibilité, c'est-à-dire de la faculté d'admettre la chaleur, et de la propager dans l'intérieur des masses. Nous n'avons point changé ces dénominations, quoique elles ne nous paraissent point exactes. Lune et l'autre, et sur- tout la pre-

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mière, exprimeraient plutôt, selon toutes les analogies, la faculté d'être conduit que celle de conduire.

La chaleur pénètre avec plus ou moins de facilité ia superficie des diverses substances , soit pour s'y introduire, soit pour en sortir , et les corps sont inégalement perméables à cet élément, c est-à-dire qu'il s'y propage avec plus ou moins de facilité , en passant d'une molécule intérieure à une autre. Nous pensons que Ton pourrait désigner ces deux propriétés distinctes par les noms de pénétrabiUté , et de perméabilité.

Il faut sur-tout ne point perdre de vue que la pénétrabîlité de la surface dépend de deux qualités différentes : l'une est relative au milieu extérieur, et exprime la facilité de la communication par le contact ; l'autre consiste dans la propriété d'émettre ou d'admettre la chaleur rayonnante. Quant à la perméabilité spécifique , elle est propre à chaque substance, et indépendante de l'état de la superficie. Au reste, les définitions précises sont le vrai fondement de la théorie; mais les dénominations n'ont point, dans la matière que nous traitons, le même degré d'importance.

On ne peut point appliquer cette dernière remarque aux notations, car elles contribuent beaucoup aux progrès de la science du calcul. On ne doit les proposer qu'avec réserve, ni les admettre qu'après un long examen. Celle que nous avons employée se réduit à indiquer au-dessous et au-dessus du signe d'intégration /les limites de l'intégrale, en écrivant immédiatement après ce signe, la différentielle de la quantité qui varie entre ces limites.

On se sert aussi du signe «2 pour exprimer la somme

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d'un nombre indéfini de termes qui dérivent d'un terme général , où l'on fait varier l'indice t. Nous plaçons cet indice, s'il est nécessaire, au-devant du signe, et nous écrivons la première valeur de i au-dessous, et la dernière au-dessus. L'emploi habituel de ces notations en fera connaître toute l'utilité , principalement lorsque le calcul des intégrales définies devient composé , et lorsque les limites de l'intégrale sont elles-mêmes l'objet de ce calcul.

Les résultats principaux de notre théorie sont les équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les corps solides ou liquides , et l'équation générale qui se rapporte à la surface. La vérité de ces équations n'est point fondée- sur une explication physique des effets de la chaleur. De quelque manière que l'on veuille concevoir la nature de cet élément, soit qu'on le regarde comme un être matériel distinct , qui passe d'une partie de l'espace dans une autre , soit qn'on fasse consister la chaleur dans la seule transmission du mouvement, on parviendra toujours aux mêmes équations, parce que l'hypothèse qu'on aura formée doit représenter les faits généraux et simples, dont les lois mathématiques sont dérivées.

La quantité de chaleur que se transmettent deux molécules dont les températures sont inégtles , dépend de la différence de ces températures. Si Ja différence est infiniment petite , il est certain que la chaleur communiquée est proportionnelle à celle différence ; toutes les expériences concourent à démontrer rigoureusement cette proposition. Or pour établir les équations différentielles dont il s'agit, on considère seu-

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lement l'action réciproque des molécules infiniment voisines. Il n'y a donc aucune incertitude sur la forme des équations qui se rapportent à l'intérieur de la masse.

L'équation relative à la surface exprime, comme nous l'avons dit, que le flux de la chaleur1, dans le sens de la normalc et à l'extrémité du solide, doit avoir la même valeur, soit que l'on calcule l'action mutuelle des molécules du solide, soit que l'on considère l'action que le milieu exerce sur l'enveloppe. L'expression analytique de la première valeur est très-simple, et exactement connue; quant à la seconde valeur , elle est sensiblement proportionnelle à la température de la surface , lorsque l'excès de cette température sur celle du milieu est une quantité assez petite. Dans les autres cas, il faut regarder cette seconde valeur comme donnée par une série d'observations ; elle dépend de l'état de la superficie , de la pression et de la nature du milieu ; c'est cette valeur observée qui doit former le second membre de l'équation relative à la surface.

Dans plusieurs questions importantes , cette dernière équation est remplacée par une condition donnée , qui exprime l'état ou constant, ou rariable, ou périodique de la superficie.

"Les équations diflférenne^es du mouvement de la chaleur sont des conséquences mathématiques analogues aux équations générales de l'équilibre et du mouvement, et qui dérivent, comme elles , des faits naturels les plus constants.

Les coefficients c, A, k, qui entrent dans ces équations, doivent être considérés , en général , comme des grandeurs

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