CHAPITRE I

SECTION VII

Du mouvement uni/orme de la chaleur suivant les trois

dimensions.

Nous n'avons considéré jusqu'ici que le mouvement uniforme de la chaleur suivant,une seule dimension, il est facile d'appliquer les mêmes principes au cas où la chaleur se propage uniformément dans trois directions orthogonales.

Supposons que les différents points d'un solide compris entre six plans rectangulaires aient actuellement des températures inégales et représentées par l'équation linéaire <v = A + ax + by+cz, x, y, z, étant les coordonnées rectangulaires d'une molécule dont la température est v. Supposons encore que des causes extérieures quelconques, agissant sur les six faces du prisme, conservent à chacune des molécules qui sont situées à la superficie, sa température actuelle exprimée par l'équation générale

v=A + ax + by + cz, (a)

nous allons démontrer que ces mêmes causes qui , par hypothèse, retiennent les dernières tranches du solide dans leur état initial, suffisent pour conserver aussi la température actuelle de chacune des molécules intérieures , en sorte que cette température ne cessera point d'être représentée par r équation linéaire.

L'examen de cette question est un élément de la théorie générale, il servira à faire connaître les lois du mouvement varié de la chaleur dans l'intérieur d'un solide d'une forme

quelconque, car chacune des molécules prismatiques dont le corps est composé, est pendant un temps infiniment petit dans un état semblable à celui qu'exprime l'équation linéaire (a). On peut donc, en suivant les principes ordinaires de l'analyse différentielle, déduire facilement de la notion du mouvement uniforme les équations générales du mouvement varié.

Pour prouver que les extrémités du solide conservant leurs températures il ne pourra survenir aucun changement dans l'intérieur de la masse, il suffit de comparer entre elles les quantités de chaleur qui, pendant la durée d'un même instant, traversent deux plans parallèles. Soit b la distance perpendiculaire de ces deux plans que l'on suppose d'abord parallèles au plan horizontal des x et y. Soient m et m' deux molécules infiniment voisines dont l'une est au-dessous du premier plan horizontal et l'autre au-dessus; soient x, y, z, les coordonnées de la première et x1, y, z, les coordonnées de la seconde. On désignera pareillement deux molécules M et M' infiniment voisines, séparées par le second plan horizontal et situées, par rapport à ce second plan, de la même manière que m et m' le sont par rapport au premier, c'est-à-dire, que les coordonnées de M sont x, y, z-\-b, et celles de M', sont x, y, z + b. Il est manifeste que la distance m ni des deux molécules m et ni est égale à la distance MM' des deux molécules M et M'; de plus, soit v la température de m et V celle de ni, soient aussi V et V les températures de M et M', il est facile de voir que les deux différences v — V et V — V sonf égales ; en effet , en substituant d'abord les coordonnées de m et ni dans l'équation générale