CHAPITRE I. 85 u=A + clx + by + cz, on trouve

et, en substituant ensuite les coordonnées de M et M', on trouve aussi V — V=a (x — x) -+- b (y — y') + c (z — z'). Or la quantité de chaleur que m envoie à m' dépend de la distance m m', qui sépare ces molécules, et elle est proportionnelle à la différence v — v' de leurs températures. Cette quantité de chaleur envoyée peut être représentée par

la valeur du coefficient q dépend d'une manière quelconque de la distance mm', et de la nature de la substance dont le solide est formé, d t est la durée de l'instant. La quantité de chaleur envoyée de M à M', où l'action de M sur M' a aussi pour expression q (V — V) d t , et le coefficient q est le même que dans la valeur q {v — i/) d t, puisque la distance M M' est égale à m m' et que les deux actions s'opèrent dans le même solide; de plus V — V est égal kv — v', donc les deux actions sont égales.

Si l'on choisit deux autres points n et ri extrêmement voisins l'un de l'autre qui s'envoient de la chaleur à travers le premier plan horizontal, on prouvera de même que leur action est égale à celles de deux points homologues N et N' qui se communiquent la chaleur à travers le second plan horizontal. On en conclura donc que la quantité totale de chaleur qui traverse le premier plan est égale à celle qui traverse le second pendant le même instant. On tirera la même conséquence de la comparaison de deux plans parallèles au plan des x et z, ou de deux autres plans parallèles au plan des y et z. Donc, une partie quelconque du solide

comprise entre six plans rectangulaires reçoit, par chacune des faces, autant de chaleur qu'elle en perd par la face opposée; donc il n'y a aucune portion du solide qui puisse changer de température.

On voit par là qu'il s écoule à travers un des plans dont il s'agit une quantité de chaleur qui est la même à tous les instants, et qui est aussi la même pour toutes les autres tranches parallèles.

Pour déterminer la valeur de ce flux constant, nous la comparerons à la quantité de chaleur qui s'écoule uniformément dans un cas plus simple que nous avons déjà traité. Ce cas est celui d'un solide compris entre deux plans infinis et entretenus dans un état constant. Nous avons vu que les températures des différents points de la masse sont alors représentées par l'équation v= A + c z; nous allons démontrer que le flux uniforme de chaleur qui se propage en sens vertical dans le solide infini est égal à celui qui s'écoule dans le même sens à travers le prisme compris entre six plans rectangulaires. Cette égalité a lieu nécessairement si le coefficient c de l'équation i;=A + C2, appartenant au premier solide est le même que le coefficient c dans l'équation plus générale v—A + ax + by + cz qui représente l'état . du prisme. En effet, désignons par H dans ce prisme un plan perpendiculaire aux z, et par m et p deux molécules extrêmement voisines l'une de l'autre dont la première m est au-dessous du plan H , et la seconde est au-dessus de ce plan , soient v la température de m dont les coordonnées sont x, y} z, et w la température de p. dont les coordonnées sont j?+a,/+p,z + y. Choisissons une troisième molécule